Ybt#452序列合并【期望dp】

正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/113/problem/2

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题目大意

一个空序列，每次往末尾加入一个\([1,m]\)中的随机一个数。如果末尾两个数相同都为\(x\)且\((x<t)\)，那么将它们合并成\(x+1\)。

如果序列长度为\(n\)且无法合并则结束，求序列期望和。

\(n,m\in[1,10^3],t\in[1,10^9]\)

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解题思路

首先显然地\(t=min\{n+m-1,t\}\)。

之后考虑序列中的每一个位置可能的数，因为每种情况都有可能，所以我们需要算概率先，设\(p_{i,j}\)表示剩余\(i\)个位置时出现\(j\)的概率，那么有\(p_{i,j}=\frac1m\times [j\leq m]+p_{i,j-1}^2\)（直接出现或者合并出来）。

设\(p_{i,j}\times q_{i,j}\)表示剩下\(i\)个位置且第一个最终是\(j\)的概率，那么有\(q_{i,j}=1-p_{i-1,j}\times [j<t]\)（\(q_{i,j}\)就表示在出现了\(j\)的前提下不变的概率，减去会变的概率就好了）。

但是因为每个位置的概率不是独立的，所以不能直接用这个来算答案。

设\(p_{i,j}\times g_{i,j}\)表示在剩下\(i\)个位置且第一个最终是\(j\)时和的期望和（注意期望=概率*次数），\(p_{i,j}\times f_{i,j}\)表示剩下\(i\)个位置时第一个出现过\(j\)的情况的期望和，\(ans_i\)表示剩下\(i\)个位置时的期望和。

那么有

\[ans_i=\sum_{j=1}^{t}p_{i,j}\times g_{i,j} \]

考虑\(g\)的递推式有

\[g_{i,j}=q_{i,j}\times j+ans_{i-1}-p_{i-1,j}\times f_{i-1,j} \]

（有\(q_{i,j}\)的概率最终是\(j\)，填完剩下的，且下一个不能出现\(j\)）
考虑\(f\)的递推式有

\[f_{i,j}=g_{i,j}+(1-q_{i,j})f_{i,j+1} \]

（第一种是最终不变，第二种是变成了\(j+1\)的情况）

这样就可以递推了，时间复杂度\(O(n^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,P=1e9+7;
ll n,m,t,p[N][N],q[N][N],g[N][N],f[N][N],ans[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);
	ll inv=power(m,P-2);
	t=min(t,n+m-1);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=1;j<=t;j++){
			p[i][j]=(inv*(j<=m)+p[i-1][j-1]*p[i][j-1]%P)%P;
			q[i][j]=(1-(j<t)*p[i-1][j]+P)%P;
		}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=t;j>=1;j--){
			if(j!=t)
				g[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1]-f[i-1][j]*p[i-1][j]%P+P)%P;
			else
				g[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1])%P;
			f[i][j]=(g[i][j]%P+(1-q[i][j])*f[i][j+1]%P)%P;
			(ans[i]+=g[i][j]*p[i][j])%=P;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans[n]);
	return 0;
}