P2150[NOI2015]寿司晚宴【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2150

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题目大意

将\(2\sim n\)选出一些分成两个集合，要求这两个集合中没有一对数不是互质的。求方案数对\(p\)取模

\(2\leq n\leq 500,1\leq p\leq10^{10}\)

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解题思路

数据小的情况我们可以把所有质数拿出来状压，但是这里\(500\)质数还是很多的，所以我们不能直接这么搞。

平时我们质因数分解能够发现\(n\)分解后最多只有一个\(>\sqrt n\)的质因子。这里\(\sqrt n\)以内的质数只有\(8\)个好像可以搞。

枚举一个大于\(8\)的质数\(x\)，对于所有包含这个质因子的数两个集合中只能有一个存在，然后前\(8\)个状压，设\(f_{i,j}\)分别表示两个集合中的前\(8\)个质数拥有的集合。显然转移的时候只需要满足\(i\&j=0\)即可。

然后对于拥有同一个大质数的所有数字只能有一个集合选择，\(f0_{i,j}\)表示第一个集合选，\(f1_{i,j}\)表示第二个集合选，然后做完之后\(f_{i,j}=f0_{i,j}+f1_{i,j}-f_{i,j}\)就好了。

时间复杂度\(O(n2^{8^2})\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510,M=256;
ll pri[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
ll n,P,s[N],f[M][M],f0[M][M],f1[M][M],ans;
vector<int>p[N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&P);
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		ll x=i;
		for(ll j=0;j<8;j++)
			if(x%pri[j]==0){
				s[i]|=(1<<j);
				while(x%pri[j]==0)x/=pri[j];
			}
		p[x].push_back(i);
	}
	f[0][0]=1;
	for(ll x=1;x<=500;x++){
		if(!p[x].size())continue; 
		for(ll y=0;y<p[x].size();y++){
			if(y==0||x==1){
				memcpy(f0,f,sizeof(f0));
				memcpy(f1,f,sizeof(f1));
			}
			ll c=p[x][y];
			for(ll i=255;i>=0;i--)
				for(ll j=255;j>=0;j--){
					if(i&j)continue;
					if(!(s[c]&j))(f0[i|s[c]][j]+=f0[i][j])%=P;
					if(!(s[c]&i))(f1[i][j|s[c]]+=f1[i][j])%=P;
				}
			if(y!=p[x].size()-1&&x!=1)continue;
			for(ll i=0;i<256;i++)
				for(ll j=0;j<256;j++)
					f[i][j]=(f0[i][j]+f1[i][j]-f[i][j])%P;
		}
	}
	for(ll i=0;i<256;i++)
		for(ll j=0;j<256;j++)
			(ans+=f[i][j])%=P;
	printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	return 0;
}