AT4120[ARC096D]Sweet Alchemy【贪心,背包】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4120

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题目大意

给出\(n\)个物品和一个容量\(m\)，第\(i\)个物品体积为\(c_i\)。除了第一个物品每个物品还有一个\(p_i(p_i<i)\)表示如果\(p_i\)个物品选择了\(x\)个，第\(i\)个物品选择了\(y\)个要求满足\(x\leq y\leq x+d\)。

\(1\leq n\leq 50,1\leq m,c_i\leq 10^9,0\leq d\leq 10^9,1\leq p<i\)

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解题思路

一个简单的转换，变成一棵树之后选择就变为了一次必须选择一个子树。除了点\(1\)外其他最多就只能选择\(d\)次。

就变成了一个多重背包，但是容量和体积很大，考虑贪心。因为价值都比较小，对于足够大的情况性价比贪心是对的，所以我们可以考虑先把小的直接做背包，大的贪心选。

背包时每个物品最多选\(min\{n,d\}\)次，设\(f_i\)表示价值为\(i\)时的最小体积，然后枚举一个背包权值，剩下的贪心就好了。二进制分组或者单调队列优化多重背包都能过

时间复杂度\(O(n^4\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const ll N=51;
struct node{
	ll w,v,id;
}a[N];
ll n,m,d,p[N],f[N*N*N],ans;
bool cmp(node x,node y)
{return x.v*y.w>y.v*x.w;}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&d);
	scanf("%lld",&a[1].w);a[1].v=1;a[1].id=1;
	for(ll i=2;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&a[i].w,&p[i]),a[i].v=1;
	for(ll i=n;i>1;i--)
		a[p[i]].w+=a[i].w,a[p[i]].v+=a[i].v,a[i].id=i;
	ll mx=n*n*n;
	memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0]=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll x=min(n,d);
		for(ll j=1;j<=x;j<<=1){
			ll w=a[i].w*j,v=a[i].v*j;
			for(ll k=mx;k>=v;k--)
				f[k]=min(f[k],f[k-v]+w); 
			x-=j;
		}
		if(!x)continue;
		ll w=a[i].w*x,v=a[i].v*x;
		for(ll k=mx;k>=v;k--)
			f[k]=min(f[k],f[k-v]+w);
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(ll p=0;p<=mx;p++){
		if(f[p]>m)break;
		ll v=p,w=f[p],i=1;
		for(i=1;i<n;i++){
			if(a[i].id==1)break;
			ll x=min(d-min(n,d),(m-w)/a[i].w);
			w+=x*a[i].w;v+=x*a[i].v;
		}
		ll x=(m-w)/a[i].w;
		w+=x*a[i].w;v+=x*a[i].v;
		ans=max(ans,v); 
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}