正题
题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7745/E
题目大意
给出\(n\)个点的一棵树，每个点有一个选择权重\(a_i\)（有\(\frac{a_i}{\sum_{i=1}^na_i}\)的概率被选择）。
然后有一个序列\(w\)。随机选择两次点（可以相同）若它们之间距离为\(L\)，那么困难值为\(w_L\)
求期望困难值。
\(1\leq n\leq 10^5,0\leq w_i\leq 10^8\)
解题思路
设\(p_i\)表示选择\(i\)的概率那么就是求
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np_ip_jw_{dis(i,j)}
\]
看起来很点分治就上点分治吧
怎么合并两个子树的距离，设\(u_i\)表示子树\(1\)中深度为\(i\)的概率和，\(v_i\)则表示子树\(2\)中的。
那么就有
\[ans=\sum_{i=1}\sum_{j=1}u_iv_iw_{i+j}=\sum_{i=1}w_{i}\sum_{j=1}u_jv_{i-j}
\]
看起来很卷积就上\(\text{NTT}\)吧
做起来比较麻烦，题解告诉我们可以直接计算整个树的然后再分别减去每个子树内的。
时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)
这下一雪我半年前考场调了半天长剖+NTT的前耻了
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct node{
ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,l,ans,root,num,mx,tot,ls[N],p[N],w[N];
ll r[N],g[N],siz[N],f[N],x[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void addl(ll x,ll y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
for(ll i=0;i<l;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=l;p<<=1){
ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<l;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=buf*f[i+len]%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
ll invn=power(l,P-2);
for(ll i=0;i<l;i++)
f[i]=f[i]*invn%P;
}
return;
}
void GetL(ll n){
l=1;while(l<n)l<<=1;
for(ll i=0;i<l;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);
return;
}
void groot(ll x,ll fa){
siz[x]=1;g[x]=0;
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==fa||v[y])continue;
groot(y,x);siz[x]+=siz[y];
g[x]=max(g[x],siz[y]);
}
g[x]=max(g[x],num-siz[x]);
if(g[x]<g[root])root=x;
return;
}
void calc(ll x,ll fa,ll dep){
(f[dep]+=p[x])%=P;
mx=max(mx,dep);
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==fa||v[y])continue;
calc(y,x,dep+1);
}
return;
}
void del(){
for(ll i=0;i<=mx;i++)f[i]=0;
mx=0;return;
}
void fuc(ll n,ll z){
GetL(2*n);
for(ll i=0;i<l;i++)x[i]=f[i];
NTT(x,1);
for(ll i=0;i<l;i++)x[i]=x[i]*x[i]%P;
NTT(x,-1);
for(ll i=0;i<l;i++)
(ans+=z*w[i]*x[i]%P)%=P;
return;
}
void solve(ll x){
v[x]=1;ll tal=num;
calc(x,x,0);fuc(mx+1,1);del();
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(v[y])continue;
calc(y,x,1);fuc(mx+1,-1);del();
}
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(v[y])continue;
num=(siz[y]>siz[x])?(tal-siz[x]):siz[y];
root=0;groot(y,x);solve(root);
}
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);ll s=0;
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&p[i]),s+=p[i];
for(ll i=1;i<=n;i++)
p[i]=p[i]*power(s,P-2);
for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&w[i]);
for(ll i=1;i<n;i++){
ll x,y;
scanf("%lld%lld",&x,&y);
addl(x,y);addl(y,x);
}
num=n;g[0]=1e9;
groot(1,1);
solve(1);
printf("%lld\n",(ans+P)%P);
return 0;
}