正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF960G
题目大意
求有多少个长度为(n)的排列，使得有(A)个前缀最大值和(B)个后缀最大值。
(0leq n,A,Bleq 10^5)
解题思路
显然的是把最大的数两边然后左边的是前缀最大值，右边的是前缀最小值。
然后考虑两个前缀最大值之间其实可以插任何数字，但是最大的一定要排在前面。
其实就是这些数字分成若干个圆排列的个数，就是第一类斯特林数。
枚举左右两边的数量就有
[sum_{i=0}^{n-1}egin{bmatrix}i\a-1end{bmatrix}egin{bmatrix}n-i-1\b-1end{bmatrix}inom{n-1}{i}
]
然后组合意义理解一下，我们可以考虑直接分成(a+b-2)个环然后再依次排列到左右就是
[egin{bmatrix}n-1\a+b-2end{bmatrix}inom{a+b-2}{a-1}
]
这个看起来就好做很多，先考虑怎么求第一类斯特林数。
考虑递推式
[egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}+egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix} imes(n-1)
]
可以理解为(0sim n-1)个里面选出(m)个数的乘积之和。
用生成函数做就是
[prod_{i=0}^{n-1}(x+i)
]
用分治+(NTT)算就好了，当然推式子还有更快的方法
时间复杂度(O(nlog^2 n))
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct Poly{
ll f[N];ll n;
}F[20];
ll n,a,b,f[N],g[N],r[N];bool use[20];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
for(ll i=0;i<n;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<n;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=f[i+len]*buf%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
ll invn=power(n,P-2);
for(ll i=0;i<n;i++)
f[i]=f[i]*invn%P;
}
return;
}
void mul(Poly &x,Poly &y){
ll n=1;while(n<x.n+y.n)n<<=1;
for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=x.f[i],g[i]=y.f[i];
NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);
for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;
NTT(f,n,-1);
for(ll i=0;i<n;i++)x.f[i]=f[i],y.f[i]=0;
x.n=x.n+y.n-1;return;
}
ll FindE(){
for(ll i=0;i<20;i++)
if(!use[i])return i;
}
ll solve(ll l,ll r){
if(l==r){
ll p=FindE();
F[p].f[0]=l;F[p].f[1]=1;
F[p].n=2;use[p]=1;return p;
}
ll mid=(l+r)>>1;
ll ls=solve(l,mid),rs=solve(mid+1,r);
mul(F[ls],F[rs]);use[rs]=0;return ls;
}
ll C(ll n,ll m){
ll ans=1,fac=1;
for(ll i=m+1;i<=n;i++)ans=ans*i%P;
for(ll i=1;i<=n-m;i++)fac=fac*i%P;
return ans*power(fac,P-2)%P;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);
if(!a||!b||a+b-2>n-1)return puts("0")&0;
if(n==1)return puts("1")&0;
ll p=solve(0,n-2);
printf("%lld
",F[p].f[a+b-2]*C(a+b-2,a-1)%P);
return 0;
}