正题
题目链接:https://gmoj.net/senior/#main/show/4496
题目大意
给出(n)，定义
[f(i)=sum_{d|i}gcd(d,frac{i}{d})
]
求
[sum_{i=1}^nf(i)
]
(1leq nleq 10^{11})
解题思路
考虑枚举(x=d)和(y=frac{n}{d})
[sum_{x=1}sum_{y=1}[xyleq n]gcd(x,y)
]
[sum_{d=1}dsum_{x=1}sum_{y=1}[xyd^2leq n][gcd(x,y)=1]
]
然后莫反
[sum_{d=1}dsum_{k=1}mu(k)sum_{x=1}sum_{y=1}[xyd^2k^2leq n]
]
[sum_{d=1}dsum_{k=1}mu(k)sum_{x=1}lfloorfrac{lfloorfrac{n}{d^2k^2}
floor}{x}
floor
]
因为要求(k^2d^2leq n)所以可以考虑暴力枚举(k)和(d)，然后最后那个整除分块就好了。
这样会慢几秒，把后面那个式子每次算的时候顺便记忆化了就可以了。
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=316228;
ll n,ans,mu[N],pri[N/10],p1[N],p2[N],cnt,S,T;
bool v[N];map<ll,ll> mp;
void Prime(){
mu[1]=1;
for(ll i=2;i<N;i++){
if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
v[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)break;
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
}
ll GetF(ll n){
ll ans=0;
if(n>=T&&p2[S/n])return p2[S/n];
if(n<T&&p1[n])return p1[n];
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ans+=(n/l)*(r-l+1);
}
if(n>=T)return p2[S/n]=ans;
return p1[n]=ans;
}
ll GetG(ll n){
ll ans=0;
for(ll i=1;i*i<=n;i++)
ans+=mu[i]*GetF(n/i/i);
return ans;
}
signed main()
{
freopen("gcd.in","r",stdin);
freopen("gcd.out","w",stdout);
Prime();
scanf("%lld",&n);
T=sqrt(n);S=n;
for(ll i=1;i*i<=n;i++)
ans+=i*GetG(n/i/i);
printf("%lld
",ans);
return 0;
}