51nod1836-战忽局的手段【期望dp,矩阵乘法】

正题

题目连接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1836

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题目大意

(n)个点(m)次随机选择一个点标记（可以重复），求最后被标记点的期望个数。

(1leq n,mleq 10^{18})

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解题思路

额开始拿方案数推了半天后面发现要斯特林数就放弃了，然后换了种方法发现很简单？

设(i)轮之后被标记点的期望个数是(f_i)，那么有

[f_i=f_{i-1}+frac{n-f_{i-1}}{n} ]

[f_i=f_{i-1}frac{n-1}{n}+1 ]

然后矩阵乘法就好了。

有一说一我第一次用期望值来算概率（（（

时间复杂度(O(Tlog n))

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int S=2;
struct Matrix{
	__float128 a[S][S];
}f,ans,c;
long long T,n,m;
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
	c.a[0][0]=c.a[0][1]=c.a[1][0]=c.a[1][1]=0;
	for(int i=0;i<S;i++)
		for(int j=0;j<S;j++)
			for(int k=0;k<S;k++)
				c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
	return c;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		f.a[1][1]=(__float128)(n-1)/n;
		f.a[0][1]=f.a[0][0]=1;f.a[1][0]=0;
		ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=0;
		while(m){
			if(m&1)ans=ans*f;
			f=f*f;m>>=1;
		}
		printf("%.12lf
",(double)ans.a[0][1]);
	}
	return 0;
}