P4100-[HEOI2013]钙铁锌硒维生素【矩阵求逆,最大匹配】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4100

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题目大意

给出(n)个线性无关的向量(A_i)，然后给出(n)个向量(B_i)，求一个字典序最小的排列(p)使得将任意的(A_i)替换为(B_{p_i})后依旧线性无关。

(1leq nleq 300)

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解题思路

首先因为我们有(n)个向量(A)线性无关，那么显然这(n)个向量能表示任意向量，如果对于一个(B_{p_i})替换为(A_i)后依旧线性无关，那么(B_{p_i})与(A_i)是等价的（因为(B_{p_i})和(A_i)都代表了剩下(n-1)个无法表示的部分）。

所以只需考虑每个(B_j)能否换到(A_i)即可，构建出矩阵(A=[A_1,A_2...A_n])和(B=[B_1,B_2...B_n])，考虑一个置换矩阵使得(AR=B)，那么就是对于每个(B)如何用(A)进行表示。

那么如果(R_{i,j}=0)也就是说(B)可以用(A_j)以外的其他(A)表示所以(B)替换到(A_j)之后肯定线性有关了，所以不行。

(R=frac{B}{A})，求逆得到(R)，这样我们就知道哪些(A)可以替换哪些(B)了，问题就变成了最小字典序匹配。对于这个问题我们可以考虑找一条增广环就好了。

时间复杂度(O(n^3))

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=310;
const double eps=1e-8;
int n,v[N],link[N];
double A[N][N],B[N][N];
bool GetInv(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int z=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(A[j][i])>fabs(A[z][i]))z=j;
		swap(A[i],A[z]);swap(B[i],B[z]);
		double x=A[i][i];
		if(fabs(x)<eps)return 0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			A[i][j]/=x,B[i][j]/=x; 
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j)continue;
			double rate=-A[j][i];
			for(int k=1;k<=n;k++)
				A[j][k]+=rate*A[i][k],
				B[j][k]+=rate*B[i][k];
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<i;j++){
			double rate=-A[j][i];
			for(int k=1;k<=n;k++)
				A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k];	
		}
	return 1;
}
bool dfs(int x){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){
			v[i]=1;
			if(!link[i]||dfs(link[i])){
				link[i]=x;
				return 1;
			}
		}
	return 0;
}
int calc(int x,int top){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){
			v[i]=1;
			if(link[i]==top||(link[i]>top&&calc(link[i],top))){
				link[i]=x;
				return i;
			}
		}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&A[j][i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&B[j][i]);
	if(!GetInv())return puts("NIE")&0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(v,0,sizeof(v));
		if(!dfs(i))return puts("NIE")&0;
	}
	puts("TAK");
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(v,0,sizeof(v));
		printf("%d
",calc(i,i));
	}
	return 0;
}