正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548
题目大意
(t)次询问，给出一个长度为(m)的串(S)和一个空串(T)，每次在(T)后面随机加入(1sim n)的字符，直到(T)中出现(S)为止，求期望次数。
(1leq nleq 10^5,tleq 50,1leq mleq 10^5)
解题思路
对于一个随机的数字(X)，它的概率生成函数是一个形如
[F(x)=sum_{i=0}^infty P(X=i)x^i
]
[F'(x)=sum_{i=1}^infty P(X=i)ix^{i-1}
]
不难发现数字(X)的期望值就是(E(X)=F'(1))
然后还有一个不知道有啥用的(X)的方差（大概就是离散程度）
[V(X)=F''(1)+F'(1)-F'(1)^2
]
这题的话，设两个生成函数，(F(x))表示停止时间(X)的概率生成函数，还有一个(G(x))表示没有停止时间的概率（不是概率生成函数），具体地
[G(x)=sum_{i=0}^infty P(i<X)x^i
]
然后我们就有两个式子
[xG(x)+1=F(x)+G(x)
]
这个式子的含义很好理解，在还没有结束的序列后面加入一个字符要么结束了要么没结束。
[left(frac{x}{n}
ight)^mG(x)=sum_{i=1}^m left(frac{x}{n}
ight)^{m-i}b_iF(x)
]
(b_i)表示(i)是否是串(S)的一个(border)，这个式子的意思就是说在直接在未结束的(T)后面插入一个(S)，此时可能提前结束。
然后这两个式子怎么用呢，我们对第一个式子求导就有
[G(x)+G'(x)=F'(x)+G'(x)Rightarrow F'(x)=G(x)
]
也就是说我们要求的(E(X)=F'(1)=G(1))
然后直接带入第二个式子，因为有(F(1)=1)，所以
[left(frac{1}{n}
ight)^mG(1)=sum_{i=1}^m left(frac{1}{n}
ight)^{m-i}b_iF(1)
]
[Rightarrow G(1)=sum_{i=1}^mn^ib_i
]
用(KMP)求出(b)数组即可。
时间复杂度(O(Tm))
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e4;
ll T,m,n,pw[N],a[N],nxt[N];
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&m,&T);pw[0]=1;
for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*m%P;
while(T--){
scanf("%lld",&n);ll ans=0;
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(ll i=2,j=0;i<=n;i++){
while(j&&a[j+1]!=a[i])j=nxt[j];
j+=(a[j+1]==a[i]);nxt[i]=j;
}
for(ll i=n;i;i=nxt[i])
(ans+=pw[i])%=P;
printf("%04lld
",ans);
}
return 0;
}