P1232[NOI2013]树的计数【思维】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1232

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题目大意

给出\(n\)个点的树的\(dfs\)序和\(bfs\)序，求所有合法的树的平均深度。

\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)

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解题思路

\(bfs\)应该是最好开始考虑的，因为\(bfs\)序的深度肯定是递增的，所以可以把\(bfs\)序分成若干段相同深度的段，注意到\(dfs\)序对\(bfs\)序的限制是在同一层内的\(dfs\)序一定要递增。

记\(b_i\)表示排在\(bfs\)序的第\(i\)个对应的\(dfs\)序，那么如果\(b_i>b_{i+1}\)那么处于\(i\)位置的节点就必须要分层，其他都可以选择分不分层。

然后再考虑\(dfs\)序的其他限制，考虑\(dfs\)序上相邻的节点，记\(a_i\)表示排在\(dfs\)序的第\(i\)个对应的\(bfs\)序。

此时如果\(a_i>a_{i+1}\)那么显然\(i\)没有儿子并且\(dfs\)序直接跳到了其祖先的某个儿子处，不受影响。如果\(a_i+1=a_{i+1}\)那么此时\(i+1\)既可能在\(i\)的同层也可能在\(i\)的下一层，但是如果\(a_{i}+1<a_{i+1}\)那么在\(a_{i+1}\)之前不可能分层，因为如果分了那么肯定会优先\(dfs\)下一层的节点，所以只有可能是\(bfs\)位于\(a_i\sim a_{i+1}-1\)的在同一层。

然后剩下的节点都是既可以分层也可以不分层的，这些点会产生\(0.5\)的贡献。

时间复杂度：\(O(n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,a[N],b[N],A[N],B[N],s[N],ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);ans=4;s[1]=1;s[2]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),A[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&b[i]),B[b[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=B[a[i]],b[i]=A[b[i]];
	for(int i=1;i<n;i++)
		if(a[i]+1<a[i+1])s[a[i]]++,s[a[i+1]]--;
	for(int i=1;i<n;i++)
		if(b[i]>b[i+1])s[i]++,s[i+1]--,ans+=2;
	for(int i=1,k=0;i<n;i++)k+=s[i],ans+=k?0:1;
	printf("%.3lf\n",ans/2.0);
	return 0;
}