CF1481FAB Tree【构造,背包】

正题

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1481F

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题目大意

给出\(n\)个点的一棵树，在每个节点上填\(a/b\)，要求恰好有\(m\)个\(a\)。要求每个节点到根路径上的字符串种类最少，输出方案。

\(1\leq m\leq n\leq 10^5\)

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解题思路

被stoorz拉来做这题，被D了/kk

很顺理成章的一个思路是我们可以在同一深度的点填上相同的字母，如果能够做到答案到达下界就是最大深度。

但是显然不是所有时候都能到达下界，再考虑一个能确定上界的构造方法。我们从上往下填，当我们到达一层设有\(x\)个非叶子节点，还剩下\(m_0\)个\(a\)和\(m_1\)个\(b\)那么显然有\(m_0+m_1\geq 2x\)，也就是有\(max\{m_0,m_1\}\geq x\)，所以这一层的非叶子节点一定能填相同的字母，然后叶子节点我们优先按照非叶子节点的字母填。如果够，那么这一层的贡献是\(1\)，如果不够这一层会产生一个不同的，贡献为\(2\)，但是此时有一种字母已经用完，所以剩下的层的贡献一定都是\(1\)。

这样就发现答案的上界就是最大深度+1，问题就变为了如何判断答案是否是\(k\)了。

暴力完全背包显然不可行，考虑从和为\(n\)入手，相似与根号分治的思路我们可以考虑根号的复杂度。对于所有层来说节点数不同的值只有根号级别种，所以我们可以把这些合并出来变成一个多重背包问题，然后用单调队列的\(O(nm)\)做法即可（但是由于这题是判断是否能够拼出来所以不需要单调队列）。

时间复杂度：\(O(n\sqrt n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
	int to,next;
}a[N];
int n,m,k,p,tot,r[N],ls[N],f[500][N];
bool ans[N];vector<int>v[N],c[N];
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int dep){
	k=max(k,dep);
	v[dep].push_back(x);
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		dfs(a[i].to,dep+1);
	}
	return;
}
void solve0(){
	for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=1;
	while(p&&m){
		int l=(m-f[p][m])/r[p];
		for(int i=0;i<l;i++)
			for(int j=0;j<v[c[r[p]][i]].size();j++)
				ans[v[c[r[p]][i]][j]]=0;
		m=f[p][m];p--;
	}
	printf("%d\n",k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		putchar(ans[i]+'a');
	return;
}
void solve1(){
	int u[2]={m,n-m};
	for(int d=1;d<=k;d++){
		int tmp=0,uc=0;
		for(int i=0;i<v[d].size();i++)
			tmp+=(ls[v[d][i]]!=0);
		if(tmp<=u[0])u[0]-=tmp;
		else{
			uc=1;u[1]-=tmp;
			for(int i=0;i<v[d].size();i++)
				if(ls[v[d][i]]!=0)ans[v[d][i]]=1;
		}
		for(int i=0;i<v[d].size();i++){
			if(ls[v[d][i]]!=0)continue;
			if(!u[uc])uc^=1;
			u[uc]--;ans[v[d][i]]=uc;
		}
	}
	printf("%d\n",k+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		putchar(ans[i]+'a');
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=2,x;i<=n;i++)
		scanf("%d",&x),addl(x,i);
	dfs(1,1);
	for(int i=1;i<=k;i++)c[v[i].size()].push_back(i);
	for(int i=1;i<=m;i++)f[0][i]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!c[i].size())continue;
		r[++p]=i;
		for(int j=1;j<=m;j++)f[p][j]=-1;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(f[p-1][j]!=-1)f[p][j]=j;
			else if(j>=i&&f[p][j-i]!=-1&&j-f[p][j-i]<=i*c[i].size())
				f[p][j]=f[p][j-i];
		}
	}
	if(f[p][m]!=-1)solve0();
	else solve1();
	return 0;
}