ARC115DOdd Degree【dp,欧拉回路】

正题

题目链接:https://atcoder.jp/contests/arc115/tasks/arc115_d

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题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条边的一张无向图，对于每个\(k\in[1,n]\) 求恰好有\(k\)个奇数入度点的生成子图数量。

\(1\leq n,m\leq 5000\)

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解题思路

考虑有\(k\)个奇入度点的图有什么性质，既然是入度的奇偶性可以从欧拉回路入手。新建一个点，向一张有\(k\)个入度为奇数的点的图上的\(k\)个点连边，那么有且仅有一个方案使得图存在欧拉回路。

所以我们可以先随便向图上的\(k\)个点连边，然后再找图上存在欧拉回路的图的数量。至于怎么寻找存在欧拉回路的图的数量，首先我们搞出一棵图的生成树，显然树上不存在欧拉回路，而所有的环（也就是存在欧拉回路的图）都可以由每条树边构成的环选出若干个将重复的部分取反得到。

所以\(n\)个点\(m\)条边的连通图的欧拉回路数量就是\(2^{m-n+1}\)，如果而我们提前连接了\(k\)条边的点必须选择，所以这些边不会增加欧拉回路的数量，所以答案就是\(\binom{n}{k}\times 2^{m-n+1}\)。

然后会发现还是有点问题，因为图没有保障连通，那么设\(f_{i}\)表示目前连接了\(i\)条新边的方案，然后每个连通块暴力转移就好了。

时间复杂度：\(O(n^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5100,P=998244353;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,sun,sum,tot,ls[N],C[N][N],pw[N<<1],f[N];
bool v[N];
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x){
	v[x]=1;sun++;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		sum++;
		if(!v[a[i].to])dfs(a[i].to);
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	C[0][0]=pw[0]=1;
	for(ll i=1;i<N*2;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=0;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;
	f[0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]){
			sum=sun=0;dfs(i);sum/=2;
			for(ll j=n;j>=0;j--){
				if(j&1)continue;
				f[j]=f[j]*pw[sum-sun+1]%P;
				for(ll k=2;k<=min(sun,j);k+=2)
					(f[j]+=f[j-k]*pw[sum-sun+1]%P*C[sun][k]%P)%=P;
			}
		}
	for(ll i=0;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",f[i]);
	return 0;
}