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  • 欧几里得算法

    首先介绍一下欧几里得算法,又称作辗转相除法,用于求两个自然数的最大公约数

    这是目前已知的求最大公约数的最快算法

    引理:gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)//这就是辗转相除法的核心,假设m是大于n的

    :gcd(a,b)是a和b的最大公约数,mod是模运算

    分析一下

    我们假设k是m n的公约数,m=xn+y

    因为k整除m,k整除n,k整除xn,所以k一定整除y

    所以可得出上式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)

    我们知道,任何数和0的最大公约数是它本身

    以此类推可以求出,当n等于0的时候,此时的m就是最大公约数

    代码

     

    时间复杂度分析

    在m mod n的过程中,最坏的结果是产生的y在m/2附近,此时n也接近m/2,下次的m变成了n

    在最坏的情况下值减少一半,所以时间复杂度是O(logn)的

    (但我们可以看出两次最坏情况并不可能相继发生,所以实际的时间复杂度会更低

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/QuixoteY/p/9892905.html
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