CF615D Multipliers [数学]

tags:[计数原理][乘法逆元][归纳の思想]
题解(复杂度：O(mlogm))：
棘手之处：n的约数多到爆炸。因此我们不妨从因子的角度来分析问题。
对n分解质因数得：n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak。
令 M = (a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)。
p1在答案中被乘的次数为：(a2+1)*(a3+1)*...*(ak+1)*(1+2+...+a1) = M*a1/2
p1给最终答案作出的贡献为：p1^(M*a1/2)。同理可得其它因子给答案的贡献。
将每一个因子做出的贡献乘起来即为最终答案。
tips: 除以2的时候要用乘法逆元

code:

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int NICO = 200000 + 10; 
const LL MOD = 1000000000 + 7;
int m, cnt[NICO];

LL mod_pow(LL p, LL k, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(k > 0)
    {
        if(k % 2 == 1) res = res * p % mod;
        p = p * p % mod;
        k /= 2;
    }
    return res % mod;
}

int main()
{
    cin >> m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int k; cin >> k;
        cnt[k] ++;    
    }
    LL M = 1, ans = 1;
    for(int i=1;i<NICO;i++)
    {
        M = M * (cnt[i] + 1) % (2*MOD-2);
    }
    for(int i=1;i<NICO;i++)
    {
        LL tmp = M * cnt[i] % (2*MOD-2) / 2;
        ans = ans * mod_pow(i, tmp, MOD) % MOD;
    }
    cout << ans << endl;
}