jzoj3232. 【佛山市选2013】排列

Description

一个关于n个元素的排列是指一个从{1, 2, …, n}到{1, 2, …, n}的一一映射的函数。这个排列p的秩是指最小的k，使得对于所有的i = 1, 2, …, n，都有p(p(…p(i)…)) = i（其中，p一共出现了k次）。
例如，对于一个三个元素的排列p(1) = 3, p(2) = 2, p(3) = 1，它的秩是2，因为p(p(1)) = 1, p(p(2)) = 2, p(p(3)) = 3。
给定一个n，我们希望从n!个排列中，找出一个拥有最大秩的排列。例如，对于n=5，它能达到最大秩为6，这个排列是p(1) = 4, p(2) = 5, p(3) = 2, p(4) = 1, p(5) = 3。
当我们有多个排列能得到这个最大的秩的时候，我们希望你求出字典序最小的那个排列。对于n个元素的排列，排列p的字典序比排列r小的意思是：存在一个整数i，使得对于所有j < i，都有p(j) = r(j)，同时p(i) < r(i)。对于5来说，秩最大而且字典序最小的排列为：p(1) = 2, p(2) = 1, p(3) = 4, p(4) = 5, p(5) = 3。

Input

输入的第一行是一个整数T（T <= 10），代表数据的个数。
每个数据只有一行，为一个整数N。

Output

对于每个N，输出秩最大且字典序最小的那个排列。即输出p(1), p(2),…,p(n)的值，用空格分隔。

Sample Input

2
5
14

Sample Output

2 1 4 5 3
2 3 1 5 6 7 4 9 10 11 12 13 14 8

Data Constraint

对于40%的数据，有1≤N≤100。
对于所有的数据，有1≤N≤10000。

题解

别看题意那么长，实际浓缩起来很短：
给你个n把n分成很多的数加起来，并且使得这些数的lcm最大。
然后把这n个数从小到大循环输出一下即可。

依照这个题意，我们考虑先把lcm求出来后找答案。
我们发现，选择质因数比选择其他的数求出来的lcm更大。
所以我们就有了方向——考虑质数。
利用dp，设$f_{[i,j]}$表示当且选择到第$i$个质数，选出来的数加起来为$j$的最大lcm。
如何转移？
我们发现，其实选择质数的幂也是可以的。因此我们在枚举$i$，$j$的同时，枚举一个$k$表示当且质数的幂。
设$l=质数^k$
方程即为：$f_{[i,j]}=max(f_{[i-1,j-l]}*l)$
但是这样求出来的f非常大，longlong存不下。
可以考虑自然对数或double。（美妙的实数）

当我们求出lcm最大值后，我们直接把它质因数分解很麻烦。
怎么办？我们发现在dp的过程中已经是利用质因数来搞了。
所以在dp的时候记录一下当且状态由那个状态得来即可。
随便搞搞。

标程

var
        i,j,k,l,n,m,t:longint;
        zs:array[0..10000] of longint;
        bz:array[1..10000] of boolean;
        f:array[0..1230,0..10000] of double;
        fr:array[0..1230,0..10000,0..2] of longint;
        len:array[1..10000] of longint;
procedure dg(i,j:longint);
begin
        if fr[i,j,2]>0 then
        begin
                dg(fr[i,j,1],fr[i,j,2]);
        end;
        //else
        begin
                inc(m);
                len[m]:=fr[i,j,0];
        end;
end;
begin
        //assign(input,'0data.in');reset(input);
        for i:=2 to 10000 do
        begin
                if not bz[i] then
                begin
                        inc(zs[0]);
                        zs[zs[0]]:=i;
                        for j:=1 to 10000 div i do
                        begin
                                bz[i*j]:=true;
                        end;
                end;
        end;
        f[0,0]:=1;
        for i:=1 to 10000 do
        begin
                f[0,i]:=1;
                fr[0,i,0]:=1;
                fr[0,i,1]:=0;
                fr[0,i,2]:=i-1;
        end;
        for i:=1 to zs[0] do
        begin
                for j:=0 to 10000 do
                begin
                        if f[i,j]<f[i-1,j] then
                        begin
                                f[i,j]:=f[i-1,j];
                                fr[i,j,0]:=fr[i-1,j,0];
                                fr[i,j,1]:=fr[i-1,j,1];
                                fr[i,j,2]:=fr[i-1,j,2];
                        end;
                end;
                for j:=1 to 10000 do
                begin
                        l:=1;
                        for k:=1 to 10000 do
                        begin
                                l:=l*zs[i];
                                if j>=l then
                                begin
                                        if f[i-1,j-l]*l>f[i,j] then
                                        begin
                                                f[i,j]:=f[i-1,j-l]*l;
                                                fr[i,j,0]:=l;
                                                fr[i,j,1]:=i-1;
                                                fr[i,j,2]:=j-l;
                                        end;
                                end
                                else
                                break;
                        end;
                end;      {
                for j:=1 to 10000 do
                begin
                        if f[i+1,j]<f[i,j] then
                        begin
                                f[i+1,j]:=f[i,j];
                                fr[i+1,j,0]:=fr[i,j,0];
                                fr[i+1,j,1]:=fr[i,j,1];
                                fr[i+1,j,2]:=fr[i,j,2];
                        end;
                end;   }
        end;
        readln(t);
        while t>0 do
        begin
                dec(t);
                readln(n);
                m:=0;
                j:=0;
                //inc(m);
                //len[m]:=fr[zs[0],n,0];
                dg(zs[0],n);
                for i:=1 to m do
                begin
                        for j:=i+1 to m do
                        begin
                                if len[i]>len[j] then
                                begin
                                        k:=len[i];
                                        len[i]:=len[j];
                                        len[j]:=k;
                                end;
                        end;
                end;
                j:=0;
                for i:=1 to m do
                begin
                        l:=j+1;
                        for k:=2 to len[i] do
                        begin
                                inc(l);
                                write(l,' ');
                        end;
                        write(j+1,' ');
                        j:=j+len[i];
                end;
                writeln;
        end;
end.
end.