鸽巢原理
利用鸽巢原理做构造：CF618F AGC025D ...
二项式定理
一些二项式的常用式子
二项式定理： ((x+y)^k=sumlimits_{i=0}^kdbinom{k}{i}x^iy^{k-i})
加法递推： (dbinom{n}{m}=dbinom{n-1}{m}+dbinom{n-1}{m-1})
*行求和法： $sumlimits_{i=0}^ndbinom{r+i}{i}=dbinom{r+n+1}{n} $
上指标求和（也能做二维的） : (sumlimits_{i=0}^ndbinom{i}{m}=dbinom{n+1}{m+1})
(dbinom{n+m}{k}=sumlimits_{i=0}^kdbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i})
容斥原理
处理 (gcd = x) 的式子，可以算出 (gcd) 为 (x) 的倍数的贡献，再减去 (gcd =2x,3xdots) 的贡献。例子：CF839D 。
处理 (gcd = 1) 可以莫比乌斯反演掉。例子：CF439E 。
出现 “ 恰好为 x ”的条件可以容斥，同时也是二项式反演的本质。
CF451E : 存在 (n) 种元素，求每种元素有 (f_i)
个的可重集取出 (m) 个元素的方案数。
解法：首先不管 (f_i) 的限制，可以隔板法插 (n-1) 块板得到答案 (inom{n+m-1}{n-1}) 。考虑减掉 (1) 号超过的，减掉 (2) 号超过的... 再加上 (1,2) 号超过的，加上 (1,3) 超过的... 对每种超过的情况容斥求出答案。
卡特兰数
通项公式： (dfrac{inom{2n}n}{n+1})
递推： (c_n = sum_{i = 1}^{n}c_{i - 1}cdot c_{n - i}) （ (n) 个节点的二叉树数量，[AHOI2012]树屋阶梯）
实际意义：
从 ((0,0)) 到 ((n,n)) ，每步只能向右或向上走一单位长度，不能越过第一象限角*分线的方案。
远离角*分线看做 +1 ，靠*角*分线看做 -1 ，那就是摆放 (n) 个 +1 , (n) 个 -1 ，前缀和都要 (ge 0) 的方案数。（这就相当于出栈序列与括号序列）
【NOI2018】冒泡排序
打表观察，发现 (n) 长度的符合方案数为 (Catalan(n)) 。
并且有一个结论：排列符合的条件为 没有长度 (ge 3) 的下降子序列。
如果前 (i) 个 (max = j) ，第 (i+1) 位只能填 (>max) 或小于 (max) 且最小的数。
由于字典序的限制，考虑 dp 计算，并且 dp 状态要尽量便于关于字典序的统计
设 (f(i,j)) 为填了 (i) 个数，前 (i) 个的 (max = j) ，此时填 (i+1sim n) 的方案数。（为什么想到这样设？因为要让前面的符合字典序，统计后面的方案数）
对于 (i<j)
（填一个最小的、一个更大的）
且对于 (i=j) ：下面没有更小的，只能填一个更大的
对于 (i>j) ：(f(i,j)=0)
整合一下：
观察这个 dp 会发现 (f(i,j)) 的实际意义：
在网格图上 ((i,j) o (n,n)) ，每一轮只能向上走若干步或 0 步，然后恰好向右走一步，要求一直在第一象限角*分线上方。
如果没有字典序限制，就是从 ((0,0)) 到 ((n,n)) ，就是 Catalan 数。
现在要求 (f(i,j)) 就是 ((i,j) o (n,n)) 不碰到 (y=x-1) 的方案数，设 ((x,y)) 为 ((i,j)) 关于 (y=x-1) 的对称点，相当于 ((i,j) o (n,n)) 随便走的方案 减去 ((x,y) o (n,n)) 随便走的方案。
求出 (f(i,j)) 后 answer 容易计算，枚举前 (i) 个字典序与排列 (p) 相同，得出后面的方案数。
高斯消元
可以用于求解方程组，适用于有环的 DP 转移。
当矩阵中元素不为 0 的较少时，可以进行更快的高斯消元。例如： CF24D
线性代数-矩阵
三角矩阵：①上三角矩阵 它的主对角线以下(不包括主对角线)的元素均为常数 0 。②下三角矩阵 它的主对角线上方均为常数 0 。
对称矩阵：以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。
矩阵转置：把所有矩阵中元素的横纵坐标交换，得到的矩阵，记为 (A^T) 。
行列式：
其中 (P) 为一个排列， (pi(P)) 为排列逆序对数。
性质：
- (det(A)=det(A^T))
- 交换 (A) 中的两行，得到 (B) 有 (det(B)=-det(A))。
- 行列式中某一行的元素都 ( imes k) ，行列式的值变为原来的 (k) 倍。
- 若矩阵中有两行相等，则 (det = 0) ； 行列式中两行对应成比例，则 (det =0) 。
- 行列式某一行乘以一个数然后加到另一行上， 行列式的值不变。
根据第五和第二条性质，可以用高斯消元讲矩阵变为对角线矩阵，对角线矩阵的行列式为对角线乘积。
线性基
对于一组向量 (X_i) ，(X=sum a_i X_i) 得到的集合为这组向量张成的线性包。
如果存在不全为 0 的 (a_i) 使得 (sum a_i X_i = 0) 那么就称 (X_i) 线性相关。
如果 (X) 线性相关，那么至少有一个 (X_i) 是其他向量的线性组合。
如果 (V) 是一个非零的线性包，而 (X_i) 线性无关且 (X) 张成的线性包为 (V) ，那么说 (X) 是 (V) 的一个基。
那么 (V) 中的任何元素都可以被表示为 (sum X_i a_i) 。
异或线性基：对于整数的每一位看做一个维度，在集合 (A) 中，选出若干个数 (X_i) ，使得任取 (X_i) 异或不为 0 ，且任取 (X_i) 异或可以表示 (A) 中任何元素异或的结果，则 (X) 为 (X) 的异或线性基。
性质：（设异或线性基大小为 (cnt) ，集合 (A) 大小为 (n)）
将集合 (A) 任取元素异或出的 (2^{n}) 个数排在一起，则有 (2^{cnt}) 个不同的数，且出现次数均为 (2^{n-cnt}) 。
线性基的插入：一位位考虑，能插入则插入，否则异或上当前有的数。
int a[32];
inline bool ins(int x){
Rep(i,31,0)
if(x>>i&1){
if(a[i])x^=a[i];
else return a[i]=x,1;
}
return 0;
}
线性基求能异或出的最大值、最小值：从高到低贪心。
inline int getmax(int x=0){
Rep(i,31,0)x=max(x,x^a[i]);
return x;
}
【清华集训2014】玛里苟斯 ：线性基 + 分类讨论。
【集训队互测2015】最大异或和 ：带删除线性基（保留所有的 0 环）。
图上线性基：找出图上所有的环，将 xor 插入线性基。