MIT线性代数课程 总结与理解-第一部分

MIT线性代数课程 总结与理解-第一部分

概述

个人认为线性代数从三个角度，或者说三个工具来阐述了线性关系，分别是:

• 向量
• 矩阵
• 空间

这三个工具有各自的一套方法，而彼此之间又存在这密切的联系，通过这些抽象出来的工具可以用来干一些实际的活，最为直接的就是解方程组，进一步衍生出来最小二乘法等等。
这一部分主要讲了三个工具的各自的一些基本方法，以及用其解方程组的一套理论。另外，由于是总结，就不按照课程的顺序，而且各点之间都有穿插。

向量(Vector)

对于向量而言，大部分与中学一致，基本的就不说了，关注重点。

线性相关性

线性相关性用于描述向量之间的关系。
之前理解有点偏差，定义的意思大概是，对于(Ax=0)，(x)若有非零解则(A)的列向量组线性相关，否则线性无关。
也就是说线性相关性是针对向量组的：

• 从代数上讲，如果向量组中任一个向量都无法被其他向量的线性组合表示，则向量组线性无关，否则线性相关。
• 从几何上讲，若某向量组线性相关，则至少存在一个向量在其余向量的线性组合所构成的空间内。

特别地，若某向量组存在零向量，则该向量组必然线性相关。

其实向量组的线性相关性是受某几个向量影响的，比如(a,b)线性无关，而(a,c)线性相关，那么(a,b,c)线性相关，而(c)是不能由(a,b)的线性表示的（因为(c)前系数为0），所以线性相关，并不意味着，向量组内任一向量都能被其他向量线性组合表示，这是之前理解上的误区。

范数，模，内积

范数是针对赋范空间，内积针对内积空间，模是指向量长度。
一般而言向量的模(|a|=sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2})等于二范数，而向量内积定义为(a·b=|a|*|b|*cos<a,b>)，这里注意一点，若取b为e，则(a·b=|a|*cos<a,b>)，此时ab内积成为了a在b上投影长度。
这些空间的定义在泛函里面介绍比较清楚，个人认为，在这一部分中，只要知道向量的范数，内积，模是如何定义的就行了。

注

对于向量而言，本部分也就这么多，这也是最为基本的，特别是线性相关性，这是后面的基础。

矩阵(Matrix)

个人认为，从某个角度上讲，向量可以看成是数的一个集合，而矩阵可以看成是向量的一个集合，以列向量为例，向量是纵向，元素是数，矩阵是横向，元素是向量。当然这只是一个角度而已，同时矩阵也可以是行向量为元素，或者就是其中的数为元素（这在课程中的应用部分有体现，比如基尔霍夫电流关系等，但个人觉得还是有点牵强，有点强行应用的意思....）,无论如何，只是观察的角度不同而已，便于理解就行。

矩阵乘法

个人认为，矩阵乘法其实是一个十分巧妙的设计，将向量线性组合的方式应用在里面，然而以前只知道左行乘右列，还感觉难用.....
矩阵乘法一共有5种方式，个人认为一定一定要深刻理解的有以下两种：

• 对(Ax)，(A)为矩阵((m*n))，(x)为列向量((n*1)): (Ax)为(A)中各列向量的线性组合

• 对(xA)，(A)为矩阵((m*n))，(x)为行向量((1*m)): (xA)为(A)中各行向量的线性组合

这是对矩阵与向量的乘积而言，而矩阵和矩阵的乘积与之类似，比如(AB)，可看成(B)中的各列向量与A相乘，然后得到结果矩阵的每个列向量。

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换分为初等列变换和初等行变换，有三种方式：

• 对调两行；
• 以数(k≠0)乘某一行的所有元素；
• 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去。

注意，以前以为最后一条涵盖了前两条，仔细看了下，还真不是，三种变换方式每一条都还是有用的....
其实思考一下，可以发现，以行变换为例，在几何上，变换其实就是行向量间的运算，初等变换并不会使向量组的空间发生变化（注意不能同时用行列变换，否则此时行列空间会发生变化）。
提到初等变换就有另一个概念了，初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所形成的矩阵。

那么初等变换，初等矩阵有什么用呢？
个人认为，初等变换可以用来描述解方程组时的消元过程，其实，解方程组就是对增广矩阵进行多次初等行变换的过程，另外，初等矩阵可以用来描述初等变换的过程，因为初等矩阵左乘某矩阵，等效于对该矩阵进行同样的初等变换，这样以来就可以用矩阵乘法来描述消元过程了。

既然为了能够描述整个消元过程，我们是不是可以将所有的消元矩阵相乘，得到一个最终的矩阵，然后这个矩阵与原矩阵相乘便得到阶梯矩阵呢？对，但这存在一个问题，就是消元矩阵之间相乘，需要做多次乘法，而且所得到的矩阵与原先消元矩阵不容易观察出关系，但是，如果我们用消元矩阵的逆矩阵，便在运算上有很大的简便性，而且也便于观察消元过程，这既是矩阵的LU分解（下三角，上三角）。
其实吧，这个LU分解，个人觉得也就形式好看，由于真正计算用的并不多，但好歹也是一种分解方式，还是得知道。

另外初等行变换，可求得矩阵的逆，对于矩阵的逆，需要记住，(A^{-1}A = AA^{-1} = I)，显然矩阵应该是方阵。

矩阵的秩

矩阵的秩是一个核心概念，秩分为行秩和列秩，分别是指线性无关行、列向量的极大数目。并且行秩等于列秩，对于这个概念问题又有很多了...
首先来看，求解秩的方法：
一般是通过初等行变换，消元得到阶梯矩阵，然后主列数便等于列（行）秩。
来看问题：

1. 为什么主列数等于列秩？
2. 阶梯矩阵的空间与原矩阵的空间是否一样？
3. 为什么行列秩相等？

先看问题1，主列是通过行变换得到的，也就是说，
若原矩阵为[a b c]，变换后的矩阵为[a' b' c']，根据初等行变换有，
若Aa'+Bb'+Cc'=0，则Aa+Bb+Cc=0(用行变换一试便知)，二者互为充要条件。也就表明，若变换后的某列向量组线性相关，则原矩阵的对应列向量组也线性相关，无关同理可证（可反证）。
有了这个结论后，就可以发现，阶梯矩阵，很明显主列是线性无关的，而且主列肯定可以线性组合得到自由列（free column），所以主列数就是矩阵的列向量组中极大线性无关向量数，即列秩。再延伸一下，可以发现上面的结论中A、B、C未改变的，也就意味着，零空间是不变的，其实也很简单，方程消元过程是不会改变解空间的。
再看问题2，问题事实上是问行变换对各个空间的影响：

• 行空间：行变换在几何上是行向量之间的运算，所以是不会改变行空间的；
• 列空间：行变换改变了列向量，显然列空间是会变化的，比如，阶梯矩阵可能有大量的零行，而原矩阵在该行所在的维度是有值的，这样显然列空间变化了，再比如，行变换允许交换两行，这显然改变了列空间；
• 零空间：方程消元是不会改变解空间的，故不变化；
• 左零空间：简单来看，左零空间和列空间是正交补，所以左零空间也会变化；

再看问题3，其实仔细观察下阶梯矩阵的形状，可以发现，所留下来的行是线性无关的，而线性相关的行已然被消为全零行，故所留下来的行就是极大线性无关行向量组，所以行秩等于主元数，等于主列数，等于列秩。

向量空间(Vector Space)

书上说，线性空间与向量空间等价，个人认为其实不大好，应该说向量空间是元素为向量的线性空间，这样应该理解起来应该要容易一点。
线性空间有8条公理，其实个人认为最为关键的为以下两点:

• 若v ∈ V，w ∈ V, 则 v + w ∈ V，即元素加法闭合；
• 若v ∈ V，则 mv ∈ V，即元素数乘闭合；

此时的V就为线性空间。注意一点，线性空间显然应该包含0元素（因为0数乘向量，为0向量），这一点可用来否定一些集合是线性空间。

基（Basis），维数（Dimention）

只要给出了基，那么这个空间就唯一确定了，也就是说一组基生成了一个空间，基满足两个条件：

• 空间中所有的向量都可以被基向量的线性组合表示；
• 基中的向量是线性无关的；

基中的向量数便称为空间的维数。
注意几个问题：
一组基确定一个空间，而生成同一个空间却有无数组基。

四个基本子空间

列空间（Column Space）

列空间是矩阵所有列向量的线性组合所构成的空间，那么列空间的基是什么呢？
显然是主列是一组基，因为，自由列可被主列的线性组合表示，所以所有列向量的线性组合等价于主列的线性组合（带入式中，很明显可得）。
所以列空间的维数等于主列数，即列向量所构成矩阵的秩，r。

零空间（Null Space）

零空间是(Ax=0)中的解空间，这就有个问题了，为什么解构成了一个空间呢？
其实可以简单套入空间的定义，试验一下：

• mx（m为系数）是Ax=0的解；
• 若(Ax_1=0，Ax_2=0)，则(A(x1+x2)=0)，故((x_1+x_2))为(Ax=0)的解；

故解在数乘，加法上闭合，所以解形成空间。零空间中的向量其本质上，是A矩阵的列向量线性相关的系数所构成的向量。
关于求解零空间的基，先说求解方法，就是选取一自由列，置其余自由列系数为0，然后让主列与之线性相关，求得系数，得到一个解向量，依次进行，便得到一组零空间的解向量。可以发现，这种方式所得到的基在各个系数所在的维度上是不同的,其实就是每个向量仅有它在某维上有分量，类似于阶梯性质，所以很容易知道，各个向量是线性无关的。
那么又有一个问题，这组向量能否生成整个解空间呢？或者问，如何证明这组向量就是解空间的基呢？这是一个很有意思的问题，思索了许久呀...
我们设向量p为任意解向量，且p在自由列的系数不全为零（若全为零，由于主列线性无关，则p就只能为零向量），设用之前得到的解向量组按照p对自由列的系数合成一个向量q，那么需要证明p=q。
假设(p eq q)，但由于都是方程组的解，二者的差（线性组合）必然也是方程组的解，设p-q=v，则v对自由列的系数为零，而主列的系数不全为零（两个向量不等），这样主列的线性组合等于了零，这与主列线性无关不符，故v=0,p=q，也即是p向量能被之前的线性无关解向量组所表示，所以之前的线性无关解向量组能够表示解空间内任意向量，即该组向量为解空间的基（线性无关早就满足了）。
所以零空间的维数等于自由列数（n-r）。

行空间（Row Space）

行空间与列空间对应，就是所有行向量的线性组合所得到的空间。观察消元过程所得到的阶梯矩阵，显然所留下来的行是线性无关的，而且相关的行已被消为全零行。
所以行空间的一组基为阶梯矩阵的不为全零的行向量组，维数等于主元数。

左零空间（Left Null Space）

(A^Tx=0) -> ((A^Tx)^T)=0 -> (x^TA)=0，所以称为左零空间，其实可以按照(A^T)的零空间来看，用的不多，知道其与列空间互为正交补，维数为m-r，就差不多了....

(Ax=b)

三个工具的基本方法讲完了，看看一个运用，就是解非齐次线性方程组。
求解方法：增广矩阵化成阶梯矩阵，找到特解（Special Solution），然后加上零空间，就构成了全部解。
两个问题：

• 为什么这种方式求得的向量是解向量？
• 这个向量的集合包含了所有解向量吗？

首先，(Ax_0=b，Ax=0)，二者相加(A(x_0+x)=b)，回答了问题一。
再看，设p为方程的解，则(Ap=b)，又(Ax_0=b)，二者相减有(A(p-x_0)=0，p-x_0)在零空间内，故p可表示为(x+x_0)，所以这个向量的集合就是所有解向量的集合。

后记

总算把第一部分课上讲的大概总结完了，肯定还有不少遗漏，以后再补充吧，不过应该还是把精华的部分都总结到了吧....
2016.12.8

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关于向量线性相关的理解之前有些偏差，现在已经纠正过来了
2016.12.11

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增加了用LaTex公式标注，另外也修正了关于向量部分的范数，内积，模的一些理解。
2017.1.22

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