MIT线性代数课程总结与理解-第三部分
对称矩阵
关于对称矩阵，这里个人认为需要掌握两个结论：
- n×n对称矩阵存在n个正交的特征向量
- 实对称矩阵的特征值也是实数
所以若 (A=A^T)，则(A)可进行特征值分解为(A=QLambda Q^T)，(Q)为正交矩阵
如果实对称矩阵的特征值为正数，则该矩阵为正定矩阵
正定矩阵满足以下性质：
- 特征值均为正数
- 所有子行列式为正数
- 主元为正数（本条保留疑问，因为主元的值似乎可以任意改变）
本节个人认为掌握这些就够用了，若以后需要其他，再进行补充，包括相似矩阵，若尓当型等
奇异值分解（SVD）
奇异值分解是一种相当重要的分解，也是一种很完美的分解，可对任意形状的矩阵进行分解。
设({v_1,v_2,v_3....v_r})为(A)行空间的一组标准正交基，({u_1,u_2,u_3...u_r})为(A)的一组列空间向量，有(Av_x=u_x)，将(u_x)规范化有(Av_x=sigma _xu_x)，整合有(Av=uSigma)，
这里有个结论，就是我们能够找到(u)也为列空间的一组正交基，至于为什么能够找到，暂且不明。于是有(Sigma)为伸缩比例的对角阵，这里
(A:m×n，v=n×r，u=m×r，Sigma=r×r)
为了方便分解，我们在(v)中右边填充零空间的一组标准基，(u)中右填充左零空间的一组标准基，则(Sigma)相应位置填充零向量。
则有 ({v_1,v_2,v_3....v_r，v_{r+1}....v_n},{u_1,u_2,u_3....u_r，u_{r+1}....u_m})，则有(AV=USigma),这里有
(A:m×n，V:n×n，U=m×m，Sigma=m×n)
其中(V,U)为正交矩阵,(Sigma)为对角阵，进一步有
(A=USigma V^T)
这就是矩阵的奇异值分解。
从分解过程可以看出，(U，V)并非唯一的，这也是奇异值分解仅仅指定了形式，而数值并非确定。
那么如何来求解(U，V)呢？
这里有
- (A^TA=VSigma ^TU^TUSigma V^T=VSigma ^2V^T)
- (AA^T=USigma V^TVSigma ^TU^T=U(Sigma ^T)^2U^T)
所以(V)是(A^TA)的一个特征向量组，(U)是(AA^T)的一个特征向量组，而特征值为(Sigma ^2)，一般而言我们取(Sigma)的正值。
这里需要思考一个问题了，上面其实从两个角度上来说明了(U,V,Sigma)的含义
角度1
(U={u_1,u_2...u_r,u_{r+1}...u_n}，V={v_1,v_2...v_r,v_{r+1}...v_m})
({v_1...v_r})为行空间的一组正交向量， ({v_r+1...v_n})为零空间的一组正交向量，显然二者是正交的；
({u_1...u_r})为列空间的一组正交向量， ({u_r+1...u_m})为左零空间的一组正交向量，显然二者是正交的；
(Sigma)为伸缩因子
角度2
- (A^TA=VSigma ^TU^TUSigma V^T=VSigma ^2V^T)
- (AA^T=USigma V^TVSigma ^TU^T=U(Sigma ^T)^2U^T)
(U)是(AA^T)的一个特征向量组，(V)是(A^TA)的一个特征向量组，(Sigma ^2)为对应特征值矩阵。
两个角度的联系
按照上面的推导过程，(V)右部分是(A)零空间中任意找一组正交的向量，那么这里的(V)又是(A^TA)的一个特征向量组，难道特征向量也可以任意吗？
答案是，对，(V)的确是(A^TA)的特征向量组，但是对于上面所说的(V)右边的(A)的零空间向量正好对应于(A^TA)的特征值为零的特征向量，所以在(A^TA)对角化的过程中，对于0特征值所对应的特征向量就是任意选取的一组正交向量。
那么如何保证选取的(A^TA)特征值为零的特征向量也是(A)的零向量，或者说选取的(A)的零空间向量也是(A^TA)的特征值为零的特征向量呢？
这里先证一个结论：
(A^TAx=0Leftrightarrow Ax=0Rightarrow A^TA)与(A)的零空间相同(Rightarrow A^TA)与(A)的零，行空间相同
充分性:(A^TAx=0Rightarrow x^TA^TAx=0Rightarrow(Ax)^2=0Rightarrow Ax=0)
必要性:(Ax=0Rightarrow A^TAx=0)
另外还有易得结论：
方阵的零空间向量都是方阵的特征值为零的特征向量，或者说方阵的特征值为零的特征向量都在方阵的零空间内，双方充要，因为(Ax=0 Leftrightarrow Ax=0x)
由上面可得：
充分性说明了选取的(A^TA)特征值为零的特征向量在(A)的零空间内
必要性说明了选取的(A)的零空间向量是(A^TA)的特征值为零的特征向量
另外还有个小问题，(A^TA)的特征值不为零的特征向量，为什么一定在(A)的行空间内呢？
这就很容易回答了，因为(A^TA)的特征值不为零的特征向量在(A^TA)的行空间内(行零空间互补)，也即是(A)的行空间内。
线性变换
首先我们得知道线性变换为何物，
定义(T)为一种变换，若对输入向量有
- (T(alpha w)=alpha T(w))
- (T(w+v)=T(w)+T(v))
- (T(alpha w+eta v)=alpha T(w)+eta T(v))(由前二者可得)
则(T)称为线性变换。比如旋转，投影就是线性变换。
这里有一个结论了，任意一个线性变换都可以用矩阵来表示，任意一个矩阵都意味着一个线性变换，那么我们就得来了解二者兼得关系了。
由线性变换确定矩阵
要由线性变换确定矩阵，得先给定三个东西：输入空间基，输出空间基，线性变换。
设定输入空间基为({v_1,v_2....v_n})，输出空间基为({w_1,w_2....w_m})
则我们可以得到(T(v_1)=a_1w_1+a_2w_2+...+a_nw_n)
将该系数作为向量，构成矩阵的一个列向量，依次确定，则构成整个矩阵，该矩阵则为线性变换确定的矩阵。
举个例子，就拿逆时针旋转45度来说，有输入空间基为自然基，输出空间基为自然基，则：
(T(v_1)=frac{sqrt{2}}{2}w_1+frac{sqrt{2}}{2}w_2)
(T(v_2)=-frac{sqrt{2}}{2}w_1+frac{sqrt{2}}{2}w_2)
所以矩阵为
(egin{bmatrix}frac{sqrt{2}}{2}&-frac{sqrt{2}}{2} \ frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2}end{bmatrix})
问题就来了，为什么能够这样呢？
这是因为，当把输入空间的基作为输入向量时，输出的向量就是输入空间基在输出空间对应的向量，输入空间的向量由基表示，那么找到了输入空间基在输出空间对应的向量，也就可以将输入空间变换到了输出空间。
这里有个提示，关于基的选择，坐标是根据基来确定的，当在进行线性变换时，变换两边的坐标一定是由输入，输出空间的基来确定的，比如，同样上面的例子，我们输入选择自然基，输出空间选择
(egin{bmatrix}frac{sqrt{2}}{2}\ frac{sqrt{2}}{2}end{bmatrix})(egin{bmatrix}- frac{sqrt{2}}{2}\ frac{sqrt{2}}{2} end{bmatrix})
作为基，那么
- (T(v_1)=w_1)
- (T(v_2)=w_2)
所以线性变换确定的矩阵就为
(egin{bmatrix}1&0\ 0& 1end{bmatrix})
由此可见线性变换确定的矩阵是与输入输出基相关的。
由矩阵确定线性变换
理解了线性变换确定矩阵的过程，再看由矩阵确定线性变换就比较容易了，矩阵的每个列向量，代表输入空间的基由输出空间基表示的系数，如果，二者均采用自然基，那么，矩阵就将输入向量变换到列空间中，理解整个空间变换时，可参考B站的线代视频所讲的网格法。
基变换
基变换是指，一个向量从一组基变换到另一个基上时的新坐标，这里其实有个问题，应该说，基本身一般是采用的自然基，所以我们就可以先把原向量变换为自然基，然后再变到新的基上：
(Wx=Vc)，其中(W)为旧基，(x)为原坐标，(V)为新基，(c)为新坐标
特殊地，若(W)为自然基，则有(x=Vc)。
后记
总算把线代的大部分知识总结完了，其中也漏了不少目前还没用到的知识，等用到时，再加以补充吧。
2017.7.24