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求什么
就比如洛谷的 P3809 【模板】后缀排序 (SA)
读入一个长度为 (n) 的由大小写英文字母或数字组成的字符串，请把这个字符串的所有非空后缀按字典序从小到大排序，然后按顺序输出后缀的第一个字符在原串中的位置。位置编号为 (1) 到 (n) 。
其中 (n le 10^6) 。
直接排序的复杂度为 (O(n^2 log_2 n))
所以SA肯定比这快嘛..为 (O(nlog_2n))
然后补充一下，这题不用求LCP（最长公共前缀），但是好像这东西很有用..（
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后缀排序思想
用了基数排序的思想呐。
基数排序（radix sort）属于“分配式排序”（distribution sort），又称“桶子法”（bucket sort）或bin sort，顾名思义，它是透过键值的部份资讯，将要排序的元素分配至某些“桶”中，藉以达到排序的作用
----百度百科其实上面那个定义不重要，后缀排序就是利用了基数排序的思想。按照字典序排列，若一一比较，肯定先从第一位开始比。所以我们可以按照每个后缀的第一个字符排个序，这个操作相当于把这个字符串的每个字符排个序。
除非正好每个字符不一样，否则肯定有部分的字符是排名是一样的，按照排序，接下来要比较这些排名一样的字符的第二位！
然后复杂度就上去了。其实，第二位我们已经比较过了！
因为要排序的是后缀，所以第 (i) 个后缀的第二个字符就是第 (i+1) 个字符，也就是已经排序好了，而第一位是第一关键字，第二位是第二关键字。
那么就可以得到第二位的排序。
以此类推，可以利用倍增的思想，再利用已知去得出第四位的排序。
不难得出，当所有后缀的排名都两两不同时，就完成了本题。
直接理解确实十分硬核，所以下面结合图再做说明。
每个后缀的编号如题目，为第一个字母所在的位置。
(s[]) 表示这个字符串。
(sa[i]) 表示排名为i的后缀编号是什么。
那么接下来更毒瘤的来了
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后缀排序代码理解
打算一块一块讲，算上输出我总共写了12个for。
首先，我们要先根据第一位排序，确定最初的 (sa[]) 。
我们用 (x[i]) 表示第一关键字。
for(int i=1;i<=n;i++){x[i]=s[i];++c[x[i]];} for(int i=2;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1]; for(int i=n;i>=1;i--)sa[c[x[i]]--]=i;先直接把 (s[i]) 给上 (x[i]) ，而 (c[]) 是桶，这里用到的就是桶排序的思想，来统计每种字符有多少种。
为了方便标号，就先做一个前缀和。这样字典序越大，所对应的的 (c[]) 越大。
接下来就是排序确定最初 (sa[]) 了。再次强调： (sa[i]) 表示排名为i的后缀编号是什么。
至于为什么 (c[x[i]]) 要减一，是为了当出现 (c[x[i]]>1) ，即有重复时，保证排序不一样。
下一块，就是要一步一步确定第二位，第四位..
也就是利用倍增的思想：
for(int k=1;k<=n;k=k<<1)然后就在这循环里瞎搞就好了。首先，定义 (y[i]) 表示排名为第 (i) 的第二关键字 ,也就是确定 (x[]) 的排列的东西。
然后根据上次排序的 (sa[]) 来确定 (y[]) 。
int num=0; for (int i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i; for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k)y[++num]=sa[i]-k;(num) 只是一个指针而已。
首先后 (k) 位，也就是第 (n-k+1) 位到第 (n) 位，他们其实已经排序完了，因为他们后面的第 (k) 位不存在。那么先直接存在 (y[]) 中。
若第 (i) 位可作其他位置的第二关键字，即 (sa[i]>k) 时，要把他放在对应的第一关键字( (x[sa[i]-k]) )中。
确定完第一关键字和第二关键字，就可以更新 (sa[]) 了。而且更新方法和开头很像。
for(int i=1;i<=m;i++)c[i]=0; for(int i=1;i<=n;i++)c[x[i]]++; for(int i=2;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1]; for(int i=n;i>=1;i--){sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];y[i]=0;}首先清空，然后用桶统计，然后前缀和。
唯一改的就是把
sa[c[x[i]]--]=i;改成sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];原因也很简单，就是因为开头 (x[]) 排序就是 (1) 到 (n)，而这边排序变成了 (y[1]) 到 (y[n]) 。
接下来就是要更新 (x[]) 了，然后很明显，要用到未更新的 (x[]) 和 (sa[]) 。
然后又懒得开新变量存，所以先用暂时没用的 (y[]) 来存此时的 (x[]) 。
swap(x,y);然后更新。
num=1;x[sa[1]]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])x[sa[i]]=num; else x[sa[i]]=++num; } if(num==n)break; m=num;//m是指不同字母的数量此时 (i) 代表的是排名，所以编号都要用 (sa[i]) 代替。
然后当两个字符一样的时候，(x[]) 是一样的，也就是第一个if判断。
否则的话排名更新，因为是按照排名枚举的，所以直接 (num+1) 。
当 (x[i]) 各不相同时，即 (num=n) 时，这个排序也就做完了。
然后这部分就做完了..
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后缀排序完整代码(即P3809 【模板】后缀排序 (SA)完整代码)
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; const int Maxn=1e6+5; char s[Maxn]; int n,m,x[Maxn],y[Maxn],c[Maxn],sa[Maxn]; int height[Maxn],rk[Maxn]; void SA() { for(int i=1;i<=n;i++){x[i]=s[i];++c[x[i]];} for(int i=2;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1]; for(int i=n;i>=1;i--)sa[c[x[i]]--]=i; for(int k=1;k<=n;k=k<<1) { int num=0; for (int i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i; for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k)y[++num]=sa[i]-k; for(int i=1;i<=m;i++)c[i]=0; for(int i=1;i<=n;i++)c[x[i]]++; for(int i=2;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1]; for(int i=n;i>=1;i--){sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];y[i]=0;} swap(x,y); num=1;x[sa[1]]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])x[sa[i]]=num; else x[sa[i]]=++num; } if(num==n)break; m=num; } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",sa[i]); printf(" "); } int main() { scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); m=122; SA(); //LCP(); return 0; }
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LCP
这个
据说好用的东西就顺带讲了吧。LCP：最长公共前缀。然后就是求，要用到后缀排序。
定义 (LCA(i,j)) 表示第 (sa[i]) 个和第 (sa[j]) 个的两个后缀的最长公共前缀。
然后就是一堆定理：
- (LCP(i,j)=LCP(j,i))
- (LCP(i,i)=len(sa[i])=n-sa[i]+1)
- LCP Lemma (LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(k,j))(1 le i le k le j le n))
- LCP Theorem (LCP(i,j)=min(LCP(k,k-1))(1<i le k le j le n))
那么如何证明呢？
首先定理 (1) 和定理 (2) 是显然的。
然后LCP Lemma和LCP Theorem开始
抄别人文章。-
LCP Lemma
设 (p=min(LCP(i,k),LCP(k,j))) ,则 (LCP(i,k) ge p) ， (LCP(k,j) ge p)。
设第 (sa[i]) 后缀为 (u) ，第 (sa[j]) 后缀为 (v) ，第 (sa[k]) 后缀为 (w) 。
所以 (u) 和 (w) 的前 (p) 个字符相等，(v) 和 (w) 的前 (p) 个字符相等。
所以 (u) 和 (v) 的前 (p) 个字符相等。
设 (LCP(i,j)=q)，且 (q > p) 。
则 (q ge p+1) ,且 (u[p+1] = v[p+1])
因为 (p=min(LCP(i,k),LCP(k,j))) ,所以 $u[p+1] e w[p+1] $ 或者 (v[p+1] e w[p+1])
所以 (u[p+1] e v[p+1]) 与前面矛盾。
所以 (LCP(i,j) le p)
综上所述， (LCP(i,j)=p=min(LCP(i,k),LCP(k,j))(1 le i le k le j le n))
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LCP Theorem
把 (i) ~(j) 拆成 (i)~(i+1) 和 (i+1)~(j)
那么根据LCP Lemma，则 (LCP(i,j)=min(LCP(i,i+1),LCP(i+1,j)))
然后我们依然可以把 (i+1)~(j) 继续拆，明显正确。
好的那么接下来的问题就是怎么求了。
我们设 (rk[i]) 表示编号为 (i) 的后缀的排名。
请注意和前面的 (sa[i]) 区分,他们是这个关系：(sa[rk[i]]=i)。
设 (height[i]=LCP(i,i-1)(1<ile n)) ，(height[1]=0) 。
因为 (LCP(i,j)=min(LCP(k,k-1))(1<i le k le j le n))
所以 (LCP(i,j)=min(height(k))(i < k le j))
设 (h[i]=height[rk[i]])
因为 (sa[rk[i]]=i)
所以 (height[i]=h[sa[i]])
然后这里其实是有一个定理的 (h[i] ge h[i-1]-1) 。
但是我并不会证明。然后就可以用这条定理来求 (height[]) ，然后再求LCP。
void LCP() { int k=0; //用k代表h[i] for(int i=1;i<=n;i++)rk[sa[i]]=i; //初始化rk[i] for(int i=1;i<=n;i++)//这里其实是枚举rk[i] { if(rk[i]==1)continue; //height[1]=0 if(k)k--; //h[i]>=h[i-1]-1,更新k然后一位位枚举 int j=sa[rk[i]-1];//前一位字符串 while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k])k++;//一位位枚举 height[rk[i]]=k;//h[i]=height[rk[i]] } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",height[i]); printf(" "); }然后就可以求LCP了。
根据 (LCP(i,j)=min(height(k))(i < k le j))
int ans=inf;//求LCP(x,y) for(int i=x+1;i<=y;i++) ans=min(ans,height(i)); printf("%d ",ans);