详解约瑟夫环问题 C/C++

约瑟夫问题：n个人围坐成一圈，从1开始顺序编号；游戏开始，从第一个人开始由1到m循环报数，

报到m的人退出圈外，问最后剩下的那个人原来的序号。

 

问题分析：面对这样循环报数的数据，我们最容易想到的就是用数组进行报数的模拟，最后把存活的人的编号输出。

先贴上这种思路的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>　　// find() 函数

int main(){
    int m,n;
    cin>>n>>m;
    vector<bool> s(n, 1);
    int dead(0), cnt(0);
    auto it=s.begin();
    while(dead < n-1){
        if(it == s.end())   it = s.begin();
        if(*it) cnt++;
        if(cnt == m){
            *it = 0;
            cnt = 0;
            dead++;
        }
        it++;
    }23     it=find(s.begin(), s.end(), 1);
    cout<<it-s.begin()+1;
    return 0;
}

代码思路是采用 vector<bool> 容器来存储每一个人的存在状态，如果在圈内参与报数，则值为1，退出圈后为0 。dead 是退出圈不参与报数的人数，作为报数停止的条件，即当 dead == n-1 时，报数停止。cnt 是每一个人报的数，当 cnt == m 时，报该数的人退出圈不再参与报数，在vector数组中的位置变为 0。

第十行，使用vector的迭代器来表示报数成员所对应的下标，while循环中即报数的模拟过程。

第十四行，因为迭代器运行过程中，可能指向 s.end() ，这一位置并不在vector 内，且没有有意义的数据，于是把迭代器重新指向 s.begin() ，这一过程解决了环形报数中第一个人和最后一个人连接的问题。

第十五行，表示报数过程，vector 数组中，此成员参与报数的话，cnt++ ，模拟报数的进行。

第十六行开始，遇到报到 m 的人，vector 中所对应的数据变为0，dead++ ，表示不再参与报数。cnt 置 0 ，表示所报数字重新从1开始（为什么不让cnt=0：因为下一个人出现时，才会自增1）。

第二十三行，得到最后那个人的迭代器指向。由于 vector 迭代器是随机访问迭代器，支持加减运算，所以刚才得到的迭代器指向减去 s.begin() ，就是最后留下的人所对应的下标（为什么不是他的原序号：因为下标从 0 开始计数），该结果再加一就是最后留下的人的原序号。

模拟的效率似乎不是很高，而且代码量也不算少，那有什么简单的办法呢？

先贴代码：

　　递归调用：

#include<iostream>
#include<cstdio>
int joseph(int n, int m){
    return n==1 ? 0 : (joseph(n-1, m)+m)%n;
}
int main(){
    int m,n;
    cin>>n>>m;
    cout<<joseph(n, m) +1;
    return 0;
}

 

题目要求出最后剩下的人的原序号，即该人所对应的下标 +1 。设 f (n , m) 是幸存者所对应的下标，

则找出 f (n , m) 与 f(n-1 , n) 的递推关系便可以写出递归函数。

以f(4, 2)举例：

   　　　　1　　2　　3　　4

   　　　　3　　4　　1

   　　　　1　　3

   　　　　1

我们只需要关注下标的变化即可。当 n=1 时，f(1 , m)必然等于 0 。而当 f (4 , 2) 变为 f (3 , 2) 时，

数组整体向左移动了 m=2 。反过来可知，当 f (3 , 2) 变为 f (4 , 2) 时，数组整体向右移动了 m=2。

即 f (3 , 2)+2 = f (4 , 2)。

考虑到实际情况为环形报数，处理后的数据可能存在溢出，所以每次结果对所剩人数 n 取余，从而得到

实际的下标。

即 ( f (3 , 2)+2 ) % 4 = f (4 , 2)

即 ( f (n-1 , m)+m ) % n = f (n , m)

此时已得到递推关系，则可得到幸存者所对应的下标。又因为报数时从 1 开始报数，所以下标+1便是幸存者的原序号。

 

由上述关系，同样可以写出递推的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main(){
    int m,n;
    cin>>n>>m;
    int location(0);  //若只有一个玩家，则幸存者必然是他，且下标为0
    for(int q=2; q<n+1; q++){
        location = (location+m)%q;
    }
    location++;        //下标加一就是成员原序号
    cout<<location;
    return 0;
}

第九行中的 q ，作为循环条件的同时，也是每一次游戏中的所剩人数，协助完成第一个成员和最后一个成员的连接。

如果游戏规则拓展后，情况又应该是怎样的呢？可以看另一篇博客：

约瑟夫环问题拓展 C/C++