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机器学习实战6-线性回归

　　回归不同于分类，回归是根据给定数据进行预测，例如销售量预测或者名人离婚率预测等。

1.线性回归

　　如果是一组二维数据，即标准的一组（x,y）数据集，使用标准线性回归就是找到一根直线能最好的拟合这组数据，使其误差最小，如下图所示：

　　　如果给定数据是多维，线性回归意味着将输入项分别乘上一些常量，将结果相加，就可以得到输出。

$Y={X}^{T}*W$

　　主要任务便是求取这个权重矩阵W，使预测值y与与真实值y之间的误差值最小。

　　经过一系列数学骚操作（有兴趣可以查下自己推导），最后能使误差最小的权重矩阵：

$W={({X}^{T}X)}^{-1}{X}^{T}y$

　　 python实战里面标准线性回归案例程序（结果为上图）：

 1 from numpy import *
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 # 自适应数据加载函数
 5 def loadDataSet(fileName):
 6     numFeat=len(open(fileName).readline().split('	'))
 7     dataMat=[];labelMat=[]
 8     fr=open(fileName)
 9     for line in fr.readlines():
10         lineArr=[]
11         curLine=line.strip().split('	')
12         for i in range(numFeat-1):
13             lineArr.append(float(curLine[i]))
14         dataMat.append(lineArr)
15         labelMat.append(float(curLine[-1]))
16     return dataMat,labelMat
17 
18 # 计算当前数据的回归系数最优解
19 def standRegres(xArr,yArr):
20     xMat=mat(xArr)
21     yMat=mat(yArr).T
22     xTx=xMat.T*xMat
23     if linalg.det(xTx)==0.0:
24         print("this matrix is singular,cannot do inverse")
25         return
26     ws=xTx.I*(xMat.T*yMat)
27     return ws
28 
29 # 标准线性回归画图
30 def drawStand(xMat,yMat,ws):
31     fig=plt.figure()
32     ax=fig.add_subplot(111)
33     # flatten().A[0] 能将二维转换为一维
34     ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0])
35     yHat=xMat*ws
36     ax.plot(xMat[:,1],yHat)
37     plt.show()
38 
39 abX,abY=loadDataSet('ex0.txt')
40 ws=standRegres(abX,abY)
41 drawStand(mat(abX),mat(abY),ws)

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2. 局部加权线性回归（LWLR）

　　当我们直接使用标准的线性回归时，很容易欠拟合，即不能很好描述数据情况，其本质原因是我们用的最小均方误差进行无偏估计。我们可以使用局部加权线性回归来解决这个问题，就1中的问题，大家可以随意感受一下。局部加权线性回归也引入了一个问题，增加了计算量，对每个点预测时都必须使用整个数据集。

　　局部加权的线性规划的回归系数如下：

　　我们可以很快瞄到这里多了一个W，此处W是一个矩阵，用来给数据点赋予权重，这个矩阵求法如下公式：

　　其中，x^(i)可以理解为测试样本点，x为训练集，k为用户指定参数，我们来观察一下k的影响。

　　很明了：

1. k=1时，欠拟合，相当于普通的线性回归（所有样本点权重差不多大）
2. k=0.01时，拟合的比较漂亮
3. k=0.003时，过拟合（由于考虑了太多噪点）

程序：

 1 from numpy import *
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 # 自适应数据加载函数
 5 def loadDataSet(fileName):
 6     numFeat=len(open(fileName).readline().split('	'))
 7     dataMat=[];labelMat=[]
 8     fr=open(fileName)
 9     for line in fr.readlines():
10         lineArr=[]
11         curLine=line.strip().split('	')
12         for i in range(numFeat-1):
13             lineArr.append(float(curLine[i]))
14         dataMat.append(lineArr)
15         labelMat.append(float(curLine[-1]))
16     return dataMat,labelMat
17 
18 # 局部加权线性回归函数
19 # 给单点赋予权重
20 def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=0.1):
21     xMat=mat(xArr)
22     yMat=mat(yArr).T
23     m=shape(xMat)[0]
24     weights=mat(eye((m))) # 初始化权重方阵
25     for j in range(m):
26         diffMat=testPoint-xMat[j,:]
27         weights[j,j]=exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
28     xTx=xMat.T*(weights*xMat)
29     if linalg.det(xTx)==0.0:
30         print("this matrix is singular,cannot do inverse")
31         return
32     ws=xTx.I*(xMat.T*(weights*yMat))
33     return testPoint*ws
34 
35 # 给所有点赋予权重，并返回
36 def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):
37     m=shape(testArr)[0]
38     yHat=zeros(m)
39     for i in range(m):
40         yHat[i]=lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
41     return yHat
42 
43 # 计算总回归误差
44 def rssError(yArr,yHatArr):
45     return ((yArr-yHatArr)**2).sum()
46 
47 xArr,yArr=loadDataSet('ex1.txt')
48 xMat=mat(xArr)
49 yMat=mat(yArr)
50 yHat1=lwlrTest(xArr,xArr,yArr,1)
51 yHat01=lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.01)
52 yHat001=lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.003)
53 
54 srtInd=xMat[:,1].argsort(0)
55 xSort=xMat[srtInd][:,0,:]
56 fig = plt.figure()
57 ax = fig.add_subplot(131)
58 ax.set_title('k=1')
59 ax.plot(xSort[:,1],yHat1[srtInd],color='r')
60 ax.scatter(xMat[:, 1].flatten().A[0], yMat.T[:, 0].flatten().A[0],s=8)
61 ax = fig.add_subplot(132)
62 ax.set_title('k=0.01')
63 ax.plot(xSort[:,1],yHat01[srtInd],color='r')
64 ax.scatter(xMat[:, 1].flatten().A[0], yMat.T[:, 0].flatten().A[0],s=8)
65 ax = fig.add_subplot(133)
66 ax.set_title('k=0.003')
67 ax.plot(xSort[:,1],yHat001[srtInd],color='r')
68 ax.scatter(xMat[:, 1].flatten().A[0], yMat.T[:, 0].flatten().A[0],s=8)
69 plt.show()

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　　实例：预测鲍鱼的年龄。注意此处数据特征已是多维，不像之前二维，不易可视化理解。

　　两组均是以0-99组数据作为训练集，第一组是对0-99检验拟合效果，第二组是对100-199检验拟合效果。

　　第一组中发现，使用较小的核可以得到较小的误差，核越小易形成过拟合，对于新数据不一定有好的预测效果

　　第二组中发现，核最小却是误差最大的

　　第三组中发现，简单线性回归与k=10时的拟合效果差不多

 1 from numpy import *
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 # 自适应数据加载函数
 5 def loadDataSet(fileName):
 6     numFeat=len(open(fileName).readline().split('	'))
 7     dataMat=[];labelMat=[]
 8     fr=open(fileName)
 9     for line in fr.readlines():
10         lineArr=[]
11         curLine=line.strip().split('	')
12         for i in range(numFeat-1):
13             lineArr.append(float(curLine[i]))
14         dataMat.append(lineArr)
15         labelMat.append(float(curLine[-1]))
16     return dataMat,labelMat
17 
18 # 局部加权线性回归函数
19 # 给单点赋予权重
20 def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=0.1):
21     xMat=mat(xArr)
22     yMat=mat(yArr).T
23     m=shape(xMat)[0]
24     weights=mat(eye((m))) # 初始化权重方阵
25     for j in range(m):
26         diffMat=testPoint-xMat[j,:]
27         weights[j,j]=exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
28     xTx=xMat.T*(weights*xMat)
29     if linalg.det(xTx)==0.0:
30         print("this matrix is singular,cannot do inverse")
31         return
32     ws=xTx.I*(xMat.T*(weights*yMat))
33     return testPoint*ws
34 
35 # 给所有点赋予权重，并返回
36 def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):
37     m=shape(testArr)[0]
38     yHat=zeros(m)
39     for i in range(m):
40         yHat[i]=lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
41     return yHat
42 
43 # 计算总回归误差
44 def rssError(yArr,yHatArr):
45     return ((yArr-yHatArr)**2).sum()
46 
47 abX,abY=loadDataSet('abalone.txt')
48 yHat01=lwlrTest(abX[0:99],abX[0:99],abY[0:99],0.1)
49 yHat1=lwlrTest(abX[0:99],abX[0:99],abY[0:99],1)
50 yHat10=lwlrTest(abX[0:99],abX[0:99],abY[0:99],10)
51 rssError01=rssError(abY[0:99],yHat01.T)
52 rssError1=rssError(abY[0:99],yHat1.T)
53 rssError10=rssError(abY[0:99],yHat10.T)
54 print(rssError01,rssError1,rssError10)
55 
56 yHat_01=lwlrTest(abX[100:199],abX[0:99],abY[0:99],0.1)
57 yHat_1=lwlrTest(abX[100:199],abX[0:99],abY[0:99],1)
58 yHat_10=lwlrTest(abX[100:199],abX[0:99],abY[0:99],10)
59 rssError_01=rssError(abY[100:199],yHat_01.T)
60 rssError_1=rssError(abY[100:199],yHat_1.T)
61 rssError_10=rssError(abY[100:199],yHat_10.T)
62 print(rssError_01,rssError_1,rssError_10)
63 
64 ws=standRegres(abX[0:99],abY[0:99])
65 yHat=mat(abX[100:199])*ws
66 rssError=rssError(abY[100:199],yHat.T.A)
67 print(rssError)

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3. 解决特征多于样本问题

　　大多数问题都是样本量远远大于特征量，但遇到了特征量大于样本该如何？

　　此时计算（X^T*X) 的逆矩阵会出错，许多帅比们提出了缩减方法，其中有岭回归、lasso法、前向逐步回归、LAR、PCA回归等。

　　缩减法的目的是去掉不重要的参数，因此可以更好理解数据。

3.1 岭回归

　　回归系数变为以下：

　　看代码：

 1 from numpy import *
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 # 自适应数据加载函数
 5 def loadDataSet(fileName):
 6     numFeat=len(open(fileName).readline().split('	'))
 7     dataMat=[];labelMat=[]
 8     fr=open(fileName)
 9     for line in fr.readlines():
10         lineArr=[]
11         curLine=line.strip().split('	')
12         for i in range(numFeat-1):
13             lineArr.append(float(curLine[i]))
14         dataMat.append(lineArr)
15         labelMat.append(float(curLine[-1]))
16     return dataMat,labelMat
17 
18 # 岭回归
19 # 计算回归系数
20 def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):
21     xTx=xMat.T*xMat
22     denom=xTx+eye(shape(xMat)[1])*lam
23     if linalg.det(denom)==0.0:
24         print("this matrix is singular,cannot do inverse")
25         return
26     ws=denom.I*(xMat.T*yMat)
27     return ws
28 
29 # 在一组lambda上测试效果
30 def ridgeTest(xArr,yArr):
31     xMat=mat(xArr)
32     yMat=mat(yArr).T
33     yMean=mean(yMat,0)
34     yMat=yMat-yMean
35     xMeans=mean(xMat,0)
36     xVar=var(xMat,0)
37     xMat=(xMat-xMeans)/xVar
38     numTestPts=30
39     wMat=zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))
40     for i in range(numTestPts):
41         ws=ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))
42         wMat[i,:]=ws.T
43     return wMat
44 
45 abX,abY=loadDataSet('abalone.txt')
46 ridgeWeights=ridgeTest(abX,abY)
47 fig=plt.figure()
48 ax=fig.add_subplot(111)
49 ax.plot(ridgeWeights)
50 plt.show()

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　　横坐标为lamda值，数座标为回归系数

　　岭回归的主要参数便是lambda，lambda最小时，系数与原始线性回归一致，lambda最大时，回归系数缩减为0，喇叭口处的lamda值结果预测最好。

3.2 前向逐步回归

　　属于一种贪心算法，即每一步都尽可能减小误差。一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策就是对某个权重增加或者减少一个很小的值。

　　代码：

 1 def stageWise(xArr,yArr,eps=0.01,numIt=100):
 2     # 初始化
 3     xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
 4     yMean = mean(yMat,0)
 5     yMat = yMat - yMean
 6     xMat = regularize(xMat) #特征值按均值为0方差为1进行标准化处理
 7     m,n=shape(xMat)
 8     returnMat = zeros((numIt,n))
 9     ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax = ws.copy()
10     # 迭代numIt次
11     for i in range(numIt):
12         # print(ws.T)
13         #初始误差值设置为正无穷，eps为误差增量
14         lowestError = inf;
15         for j in range(n):
16             # 分别计算增加或减少该特征对误差的影响
17             for sign in [-1,1]:
18                 wsTest = ws.copy()
19                 wsTest[j] += eps*sign
20                 yTest = xMat*wsTest
21                 rssE = rssError(yMat.A,yTest.A)
22                 if rssE < lowestError:
23                     lowestError = rssE
24                     wsMax = wsTest
25         ws = wsMax.copy()
26         returnMat[i,:]=ws.T
27     return returnMat

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4.实例：乐高玩具价格预测

　　代码：

  1 from numpy import *
  2 import matplotlib.pyplot as plt
  3 
  4 # 计算普通线性回归，回归系数最优解
  5 def standRegres(xArr,yArr):
  6     xMat=mat(xArr)
  7     yMat=mat(yArr).T
  8     xTx=xMat.T*xMat
  9     if linalg.det(xTx)==0.0:
 10         print("this matrix is singular,cannot do inverse")
 11         return
 12     ws=xTx.I*(xMat.T*yMat)
 13     return ws
 14 
 15 # 岭回归
 16 # 计算回归系数
 17 def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):
 18     xTx=xMat.T*xMat
 19     denom=xTx+eye(shape(xMat)[1])*lam
 20     if linalg.det(denom)==0.0:
 21         print("this matrix is singular,cannot do inverse")
 22         return
 23     ws=denom.I*(xMat.T*yMat)
 24     return ws
 25 # 在一组lambda上测试效果
 26 def ridgeTest(xArr,yArr):
 27     xMat=mat(xArr)
 28     yMat=mat(yArr).T
 29     yMean=mean(yMat,0)
 30     yMat=yMat-yMean
 31     xMeans=mean(xMat,0)
 32     xVar=var(xMat,0)
 33     xMat=(xMat-xMeans)/xVar
 34     numTestPts=30
 35     wMat=zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))
 36     for i in range(numTestPts):
 37         ws=ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))
 38         wMat[i,:]=ws.T
 39     return wMat
 40 
 41 # 2.交叉验证岭回归
 42 def crossValidation(xArr,yArr,numVal=10):
 43     m=len(yArr)
 44     indexList=list(range(m))  # 创建一组包含0-76的顺序列表
 45     errorMat=zeros((numVal,30))  # 用于存放错误率的矩阵
 46     # 10折交叉验证
 47     for i in range(numVal):
 48         trainX=[]
 49         trainY=[]
 50         testX=[]
 51         testY=[]
 52         # 打乱列表，以使每一折的训练集和测试集都不一样
 53         random.shuffle(indexList)
 54         # 分配训练集和测试集，前90%放入训练集，后10%放入测试集
 55         for j in range(m):
 56             if j<m*0.9:
 57                 trainX.append(xArr[indexList[j]])
 58                 trainY.append(yArr[indexList[j]])
 59             else:
 60                 testX.append(xArr[indexList[j]])
 61                 testY.append(yArr[indexList[j]])
 62             # 使用岭回归得到回归系数矩阵，用了30个lambda创建了三十组回归系数
 63         wMat=ridgeTest(trainX,trainY)
 64         for k in range(30):
 65             matTestX=mat(testX)
 66             matTrainX=mat(trainX)
 67             meanTrain=mean(matTrainX,0)
 68             varTrain=var(matTrainX,0)
 69             # 测试集使用与训练集相同的参数进行标准化
 70             matTestX=(matTestX-meanTrain)/varTrain
 71             # 预测测试集的价格
 72             yEst=matTestX*mat(wMat[k,:]).T+mean(trainY)
 73             # 计算预测偏差
 74             errorMat[i,k]=rssError(yEst.T.A,array(testY))
 75     # 对各列求平均值
 76     meanErrors=mean(errorMat,0)
 77     minMean = float(min(meanErrors))
 78     # nonzero 返回不为0元素下标
 79     # 平均误差最小的组的回归系数即为所求最佳
 80     bestWeights = wMat[nonzero(meanErrors == minMean)]
 81     xMat = mat(xArr);
 82     yMat = mat(yArr).T
 83     meanX = mean(xMat, 0);
 84     varX = var(xMat, 0)
 85     # 数据还原标准化以前
 86     unReg = bestWeights / varX
 87     constant = -1 * sum(multiply(meanX, unReg)) + mean(yMat)  # 常数项
 88     print("the best model from Ridge Regression is:
", unReg)
 89     print("with constant term: ", constant)
 90     return unReg, constant
 91 
 92 # 1.乐高玩具，数据依次是年份，零部件数，新旧，原始价格
 93 xArr,yArr = loadDataSet("legoAllData.txt")
 94 xMat=mat(xArr)
 95 lgX=xMat
 96 yMat=mat(yArr)
 97 lgX1=mat(ones((76,5)))
 98 lgX1[:,1:5]=xMat
 99 lgY=yMat
100 
101 # 2.普通线性回归
102 ws=standRegres(lgX1,lgY)
103 print(ws)
104 # 售价约等于=59349-29*年份-.0.03*零部件数+55*新旧+2*原始价格
105 
106 # 3.交叉验证岭回归
107 crossValidation(xArr,yArr,10)

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