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  • 二项式定理习题证明

    习题证明

    证明:

    [sum_{k=0}^n (-1)^kinom{n}{k}^2 = egin{cases} 0, ext{若 n 是奇数} \ (-1)^minom{2m}{m}, ext{若}n = 2m end{cases} ]

    奇数情况显然,考虑偶数情况。

    [ ext{令} n = 2m \ (x-1)^n(x+1)^n = (x^2 - 1)^n \ sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k}x^k sum_{k=0}^ninom{n}{k}x^k = sum_{k=0}^{n} (-1)^k inom{n}{k}x^{2k} \ ext{由于n次系数相等,可得} \ sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k} x^k inom{n}{n-k} x^{n-k} = (-1)^m inom{n}{m}x^n \ sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k}^2 x^n = (-1)^m inom{n}{m}x^n \ sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k}^2 = (-1)^m inom{n}{m} \ ]

    证毕。

    7.求出:

    [inom{n}{k} + 3inom{n}{k-1}+3inom{n}{k-2}+inom{n}{k-3} ]

    解:

    [ ext{原式} = inom{3}{0}inom{n}{k} + inom{3}{1}inom{n}{k-1}+inom{3}{2}inom{n}{k-2} + inom{3}{3}inom{n}{k-3} \ = sum_{i=0}^k inom{3}{i}inom{n}{k-i} \ = inom{n+3}{k} ]

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Reanap/p/15155246.html
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