学习笔记 四边形不等式的模型

四边形不等式的模型

目录

• 四边形不等式的模型
  • 前言
  • 基本转换形式
  • 1D|1D
  • 2D|1D(非区间)
  • 2D|1D(区间)
  • 参考

前言

对于四边形不等式，做题时总会找较为普遍的模型，它们具有决策单调性，而在大部分情况下这些模型总能归类到以下几种，为了方便理解和总结作用我在以下给出几种比较常见的模型。

当然真正在考场上做题做好还是打表找决策点，更方便一些。

写的比较拉，后面因为咕咕咕就真全阉了。

本篇

基本转换形式

• 由 (w(l-1,r) + w(l,r+1) le w(l,r)+w(l-1,r+1)) 推导到任意 (a),(b) 满足 (l-age 1) 且 (r+ble n) ，均满足 (w(l-a,r)+w(l,r+b)le w(l,r)+w(l-a,r+b))。

数学归纳法证明：

现有式子 ①：(w(l-1,r) + w(l,r+1) le w(l,r)+w(l-1,r+1)) 。

对于区间 ([l-1,r]) ，通过这个基本形式可得式子 ②：(w(l-2,r) + w(l-1,r+1) le w(l-1,r)+w(l-2,r+1)) 。

两式同号相加，并去除相同项得：(w(l-2,r) +w(l,r+1) le w(l-2,r+1)+w(l,r))

即不等式从四元组 ((l-1,l,r,r+1)) 可推导到 ((l-2,l,r,r+1))。

则归纳可得 ① 可以推导到任意四元组 ((a,b,c,d)~(ale ble cle d))。（相等的时候不是显然成立）

1D|1D

最经典simple的形式。

• 有 (f[i] = min{f[j] + w(j, i)}~ (j< i)) 且 (w(l-1,r) + w(l,r+1) le w(l,r)+w(l-1,r+1)) （即 (w) 满足四边形不等式）。

  式子中 (w(j, i)) 写成 (w(j + 1, i)) 也可以，定义都是相同的。

  则 (f[i]) 的决策点下标必然大于等于 (f[j]) $(jle i) $ （决策点非严格单调递增）（这里的 (j) 不同于上面的 (j) ）的决策点。

证明：

令 (d[j]) 为 (f[j]) 的决策点，假设 (f[i]) 的决策点下标小于 (d[j]) 令为 (x) （(i > j)）。

[ecause x为点i的最优决策点\ herefore f[i]=f[x]+w(x,i)le f[d[j]]+w(d[j],i)\ ecause d[j]点j的最优决策点\ herefore f[j]=f[d[j]]+w(d[j],j)le f[x]+w(x,j)\ ]

同号不等式相加得：

[w(x,i)+w(d[j],j)le w(d[j],i)+w(x,i) (1)\ ecause x<d[j]<j<i\ herefore w(x,i)+w(d[j],j)ge w(d[j],i)+w(x,i)(2)\ ecause (1)与(2)矛盾\ Q.E.D ]

以下两类证明的过程比较复杂生硬，这里只给出一些结论，若要深度弄懂这些结论可以上OI-wiki查阅，十分详细。

2D|1D(非区间)

类似于机器人生产工作时间放置问题，本篇以 luoguP4767 为例。

• 有 (f[i][j]=egin{cases} min{f[k][j-1]+w(k+1,i)}&(k<i&jge 2)\ w(1,i)&(j=1)end{cases}) 且 (w) 满足四边形不等式。

  令 (d[i][j]) 为 (f[i][j]) 的决策点。

  则 (d[i][j]) 非严格单调递增且满足(d[i][j-1]le d[i][j]le d[i+1][j])，且 (f[i][j]) 也满足四边形不等式。

2D|1D(区间)

也是很经典的式子（类似于合并果子）：

• 有 (f[i][j] = egin{cases}min{f[i][k] + f[k + 1][j] + exttt{value} (i, j) } & (j > i) \ 0 & (i = j) end{cases})

  令 (d[i][j]) 是 (f[i][j]) 的决策点。

  则 (d[i][j]) 非严格单调递增且满足(d[i][j-1]le d[i][j]le d[i+1][j])，且 (f[i][j]) 也满足四边形不等式。

参考

OI-wiki 四边形不等式优化

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