学习笔记 启发式合并

启发式合并

目录

• 启发式合并
  • 前言
  • 概念简述
  • 证明
  • 例题

前言

启发式合并十分得神奇，如果不刻意去想可能几乎想不到这种优化方法，但是在某些时刻看似是暴力的代码套上这几个字再加上证明复杂度，就能缩一圈，但没有模板，代码因题而异，十分灵活。

概念简述

• 对于 (n) 个初始大小为1的可重集，每次选择（被动）两个集合合并时，每次将 (S_1) 与 (S_2) 合并的代价是其中一个集合的大小，而目的时合并成 (1) 个可重集的最小代价。

  每次合并，很显然的一种贪心方法是将较小的集合合并到较大的集合，复杂度为 (O(min(S_1,S_2))) ，而最后的时间复杂度的阶也很神奇，是 (O(nlog_2n))。

证明

观察每次合并操作将较小的集合合并到较大的集合，而每个元素只有在较小的集合才会产生贡献，但每次合并操作对于较小的集合都会扩大一倍，而对于刚开始的大小为 (1) 的集合，最多会带此元素作为较小的集合扩大 (lfloorlog_2n floor) 次，而每个元素扩大 (lfloorlog_2n floor) 次后复杂度为 (O(nlog_2n)) ，对于随机数据完全达不到这个上限，我们还是保守的将其估计为此。

例题

（持续更新ing）

• (large exttt{LG U41492})

  树上启发式合并模板题。

  将问题转换到了树上，其实就是规定了每次操作合并的两个可重集。

  在 DFS 遍历到某个节点的时候保留一颗最大的子树的答案，再将其它兄弟子树所有节点后合并到那颗最大的子树的答案中，得到父亲节点的答案。

  在一个节点中，每次对于要合并的子树大小最少扩大一倍，而对于某个节点，它在较小的子树中合并产生贡献为包括它的所有子树的合并次数，而这个合并次数不超过 (log_2n) ，因此合并次数也是不超过 (O(nlog_2n)) （对于随机数据十分得松）。