题解 P3412 【仓鼠找sugar II】

(huge exttt{P3412})

题意

给定一棵树，求任意一条路径从起点随机游走到终点的期望距离的期望。

思路

讨论求出每条边的贡献，当且仅当每条路径两个端点分别在这条边分成两个连通块中。

一些约定： (vin u) 表示 (v) 是 (u) 的子节点，(sum[u]=sum_{vin u} up[v])，(p[u]) 表示 (u) 的连边数量，(fa[u]) 表示 (u) 的父亲。

对于每条边 (u o v) 它的两种期望：

向上走的期望可以由 (u o fa[u]) 或者 (u o v o u o fa[u]) 得到。

向下走的期望可以由 (u o v) 或者 (u o v' o u o v) 或者 (u o fa[u] o u o v) 得到（(v'in u&v' e v)）。

然后发现这些都可以通过已知项求得，对其讨论即可。

列式子求解每条边向上走向下走的期望步数，为了方便标记每条边，(up[u]) 和 (down[u]) 都表示连 (u) 的父边，而 (up) 表示向上，(down) 对应向下。

则会有下面的式子（感觉我推烦了，但还是比较清晰的吧）：

[up[u]=frac{1}{p[u]}+frac{1}{p[u]}(sum_{vin u}(1+up[v]+up[u]))\ up[u]=frac{1}{p[u]}+frac{(p[u]-1)up[u]}{p[u]}+frac{1}{p[u]}(sum_{vin u}(1+up[v]))\ up[u]=1+p[u]-1+sum_{vin u}up[v]\ up[u]=p[u]+sum_{vin u}up[v] ]

[down[u]=frac{1}{p[fa[u]]}+frac{1}{p[fa[u]]}(sum_{vin fa[u]&v e u}1+up[v]+down[u])+frac{1}{p[fa[u]]}(1+down[fa[u]]+down[u])\ donw[u]=1+frac{(p-1)(down[u])}{p[fa[u]]}+frac{1}{p[fa[u]]}(sum[fa[u]]-up[u]+down[fa[u]])\ down[u]=p[fa[u]]+sum[fa[u]]-up[u]+down[fa[u]] ]

然后就很容易了。

代码

int a, b, up[N + 5], sum[N + 5], down[N + 5], ans, siz[N + 5];
vector<int> st[N + 5];

void dfs(int n, int fa) {
	siz[n] = 1;
	rep(i, 0, siz(st[n]) - 1) {
		int v = st[n][i];
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, n);
		siz[n] += siz[v];
		(sum[n] += up[v]) %= mod;
	}
	up[n] = (siz(st[n]) + sum[n]) % mod;
}

void Dfs(int n, int fa) {
	if (n != 1) down[n] = (siz(st[fa]) + sum[fa] - up[n] + down[fa] + mod) % mod;
	(ans += siz[n] * (a - siz[n]) % mod * (down[n] + up[n]) % mod) %= mod;
	rep(i, 0, siz(st[n]) - 1) {
		int v = st[n][i];
		if (v == fa) continue;
		Dfs(v, n);
	}
}

int qpow(int n, int m = mod - 2) {
	int res = 1;
	for (; m; m >>= 1) {
		if (m & 1) res = res * n % mod;
		n = n * n % mod;
	}
	return res;
}

signed main() {
	// freopen("in1.in", "r", stdin);
	// freopen("out.out", "w", stdout);
	a = read();
	int x, y;
	rep(i, 1, a - 1) {
		x = read();
		y = read();
		st[x].PB(y);
		st[y].PB(x);
	}
	dfs(1, 0);
	Dfs(1, 0);
	printf("%lld", ans * qpow(a * a % mod) % mod);
	return 0;
}