bzoj1797 [Ahoi2009]Mincut 最小割

我们首先跑一遍最大流。

可以发现如果一个流没跑或者没有跑满，他肯定不再最小割中。如果没跑，那么去掉它之后新图的最小割依然等于最大流，所以割他没有用，而没有跑满的边可以看作是一个满了的边和一个空的边，割了就是浪费了他多余的流量。

那么如果一个边跑满了呢？

 对于残留网络缩点，如果$id[u]!=id[v]$，那么可能选到这条边。

如果 $id[u]==id[S]且id[v]==id[T]$ ，那么一定选这条边。

现在感性理解了，理性证明坑待填。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#define N 4005
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
int n,m,S,T;
int e=2,head[N];
struct edge{
    int u,v,f,next;
}ed[120050];
void add(int u,int v,int f){
    ed[e].u=u;ed[e].v=v;ed[e].f=f;
    ed[e].next=head[u];head[u]=e++;
    ed[e].u=v;ed[e].v=u;ed[e].f=0;
    ed[e].next=head[v];head[v]=e++;
}
int dep[N];
bool bfs(){
    memset(dep,0,sizeof dep);
    queue<int> Q;
    Q.push(S);dep[S]=1;
    while(!Q.empty()){
        int x=Q.front();Q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=ed[i].next){
            if(ed[i].f&&!dep[ed[i].v]){
                dep[ed[i].v]=dep[x]+1;
                if(ed[i].v==T)return 1;
                Q.push(ed[i].v);
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dfs(int x,int f){
    if(x==T||!f)return f;
    int ans=0;
    for(int i=head[x];i;i=ed[i].next){
        if(ed[i].f&&dep[ed[i].v]==dep[x]+1){
            int nxt=dfs(ed[i].v,min(f,ed[i].f));
            ans+=nxt;f-=nxt;ed[i].f-=nxt;ed[i^1].f+=nxt;
        }
        if(!f)break;
    }
    if(!ans)dep[x]=-1;
    return ans;
}
int dinic(){
    int ans=0;
    while(bfs())ans+=dfs(S,inf);
    return ans;
}
int dfn[N],low[N],top,q[N],id[N],tot;
bool bo[N];
void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++top;
    q[top]=x;bo[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=ed[i].next){
        if(ed[i].f){
            int v=ed[i].v;
            if(!dfn[v]){
                tarjan(v);
                low[x]=min(low[x],low[v]);
            }
            else if(bo[v]){
                low[x]=min(low[x],dfn[v]);
            }
        }
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        int y;tot++;
        do{
            y=q[top--];
            id[y]=tot;
            bo[y]=0;
        }while(y!=x);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1,u,v,f;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&f);
        add(u,v,f);
    }
    dinic();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])tarjan(i);
    for(int i=2;i<e;i+=2){
        if(!ed[i].f){
            if(id[ed[i].u]!=id[ed[i].v])printf("1 ");
            else printf("0 ");
            if(id[ed[i].u]==id[S]&&id[ed[i].v]==id[T])puts("1");
            else puts("0");
        }
        else puts("0 0");
    }
    return 0;
}