【题目描述】
很久很久之前,森林里住着一群兔子。有一天,兔子们突然决定要去看樱花。兔子们所在森林里的樱花树很特殊。
樱花树由 $n$ 个树枝分叉点组成,编号从 $0$到 $n-1$,这 $n$ 个分叉点由 $n-1$ 个树枝连接,我们可以把它看成一个有根树结构,其中 $0$ 号节点是根节点。这个树的每个节点上都会有一些樱花,其中第i个节点有 $c_i$ 朵樱花。樱花树的每一个节点都有最大的载重 $m$ ,对于每一个节点 $i$ ,它的儿子节点的个数和 $i$ 节点上樱花个数之和不能超过 $m$ ,即 $son(i) + c_i le m$,其中 $son(i)$ 表示 $i$ 的儿子的个数,如果 $i$ 为叶子节点,则 $son(i) = 0$。
现在兔子们觉得樱花树上节点太多,希望去掉一些节点。当一个节点被去掉之后,这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。如果父节点也被删除,那么就会继续向上连接,直到第一个没有被删除的节点为止。
现在兔子们希望计算在不违背最大载重的情况下,最多能删除多少节点。
注意根节点不能被删除,被删除的节点不被计入载重。
【输入格式】
第一行输入两个正整数,$n$和 $m$ 分别表示节点个数和最大载重。
第二行 $n$ 个整数 $c_i$ ,表示第 $i$ 个节点上的樱花个数。
接下来 $n$ 行,每行第一个数 $k_i$ 表示这个节点的儿子个数,接下来 $k_i$ 个整数表示这个节点儿子的编号。
【输出格式】
一行一个整数,表示最多能删除多少节点。
【样例】
样例输入
10 4
0 2 2 2 4 1 0 4 1 1
3 6 2 3
1 9
1 8
1 1
0
0
2 7 4
0
1 5
0
样例输出
4
【数据范围与提示】
对于 $30\%$ 的数据,$1 le n le 5000, 1 le m le 100, 0 le c_i le 100 $
对于 $70\%$的数据,$1 le n le 200000, 1 le m le 2000, 0 le c_i le 1000 $
对于 $100\%$的数据,$1 le n le 2000000, 1 le m le 100000, 0 le c_i le 1000 $
数据保证初始时,每个节点樱花数与儿子节点个数之和大于 $0$ 且不超过 $m$
【题解】
看到这种求删点个数最多的题,不难想到二分/dp贪心。
考虑贪心,在 $dfs$ 遍历时对于每个节点,把能插入的子节点插入。现在考虑如何证明。
首先我们考虑该节点本来就没有向上合并。这时显然删比不删更优。
第二种情况就是节点本来向上合并,但因为多删了这个点,某个祖先就无法向上合并了。这时删点个数不变,而祖先的权值会变小,显然更优。
因此贪心是正确的。
【代码】
#include<bits/stdc++.h> const int maxn=2000000+10; std::vector<int> e[maxn]; int c[maxn],n,m,ans; inline void dfs ( int u ) { for ( int v:e[u] ) dfs(v); std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int>> q; for ( int v:e[u] ) q.push(c[v]-1); while ( !q.empty() ) { int val=q.top();q.pop(); if ( c[u]+val<=m ) c[u]+=val,ans++; } } inline int read ( void ) { int x=0;char ch;bool f=false; while ( !isdigit(ch=getchar()) ) if ( ch=='-' ) f=true; for ( x=ch^48;isdigit(ch=getchar()); ) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); return f ? -x : x ; } signed main() { n=read();m=read(); for ( int i=1;i<=n;i++ ) c[i]=read(); for ( int i=1,son;i<=n;i++ ) { c[i]+=(son=read()); for ( int j=1;j<=son;j++ ) e[i].push_back(read()+1); } dfs(1); return !printf("%d ",ans); }