算法与数据结构---6.2、斐波那契数列-滚动数组优化

算法与数据结构---6.2、斐波那契数列-滚动数组优化

一、总结

一句话总结：

a、因为递推表达式f[i]=f[i-1]+f[i-2]中只用到了f[i]、f[i-1]和f[i-2]三个元素，所以可以用含有三个元素的数组来优化

b、滚动数组的代码修改也很简单，直接在递推表达式有i的位置%3即可，f[i%3]=f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3]

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int f[3];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    //1、确定初始值
    f[1]=f[2]=1;
    //2、循环做递推，3-n
    for(int i=3;i<=n;i++){
        //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
        f[i%3]=(f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3])%mod;
    }
    //注意n也需要模3
    cout<<f[n%3]<<endl;
    return 0;
}

二、斐波那契数列

博客对应课程的视频位置：6.2、斐波那契数列-滚动数组优化
https://www.fanrenyi.com/video/27/274

1、题目描述

问题描述：

满足F1=F2=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)的数列称为斐波那契数列（Fibonacci），
它的前若干项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55...，求此数列第n项 mod 10^9+7的值（n>=3）。

输入格式：
一行一个正整数n

输出格式：
一行一个整数表示答案。

输入输出样例：
输入5，输出5
输入10，输出55

【数据范围】
对于60%的数据，1<=n<=92；
对于100%的数据，1<=n<2^63。


题目位置：
P1962 斐波那契数列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态
https://www.luogu.com.cn/problem/P1962

2、递推解法

 1 /*
 2 
 3 递推关系式：
 4 题目中已经非常明显的给出了，就是
 5 F(n)=F(n-1)+F(n-2)
 6 
 7 解决递推问题的一般步骤
 8 1、建立递推关系式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
 9 2、确定边界条件：
10 f(1)=f(2)=1，
11 所以我们的循环可以从3开始，到n结束，
12 也就是3-n
13 
14 算法步骤：
15 1、确定初始值
16 2、循环做递推，3-n
17 
18 */
19 #include <iostream>
20 using namespace std;
21 const int mod=1000000007;
22 int f[200000];
23 int main(){
24     int n;
25     cin>>n;
26     //1、确定初始值
27     f[1]=f[2]=1;
28     //2、循环做递推，3-n
29     for(int i=3;i<=n;i++){
30         //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
31         f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
32     }
33     cout<<f[n]<<endl;
34     return 0;
35 }

3、滚动数组优化

/*

之前的最大子段和的动态规划的优化的时候，
我们讲了滚动数组优化，
原因是 对应的状态转移方程为：
f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
里面只用到了f[i]和f[i-1]这两个元素，
所以可以用只有两个元素的数组来优化

我们现在的递推表达式是：
f[i]=f[i-1]+f[i-2] (3<=i<=n)
里面用到了f[i]、f[i-1]和f[i-2]三个元素，
所以可以用含有三个元素的数组来优化

滚动数组的代码修改也很简单
直接在递推表达式有i的位置%3即可
f[i%3]=f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3];
（%3是因为现在是有三个元素的滚动数组）

注意：
取结果的时候，n也需要模3，例如f[n%3]

*/

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int f[3];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    //1、确定初始值
    f[1]=f[2]=1;
    //2、循环做递推，3-n
    for(int i=3;i<=n;i++){
        //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
        f[i%3]=(f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3])%mod;
    }
    //注意n也需要模3
    cout<<f[n%3]<<endl;
    return 0;
}