算法与数据结构---6.3、递推和动态规划的关系
一、总结
一句话总结：
动态规划可以看做是一种特殊的递推，动态规划可以看做保存中间状态（中间结果）的递推
/* 上述代码也就是这个题目动态规划的写法 动态规划里面有状态，状态转移方程 递推里面初始值，递推表达式 其实动态规划里面的状态转移方程，就是递推表达式 动态规划里面的初始状态，就是递推里面的初始值 所以动态规划可以看做是一种特殊的递推， 动态规划可以看做保存中间状态（中间结果）的递推 对于这题： 状态可以设置为：f[i]为 斐波那契数列第n项 mod 10^9+7的值 那么状态转移方程就是递推表达式：F(n)=F(n-1)+F(n-2) 初始状态：f[1]=f[2]=1 */
二、斐波那契数列
博客对应课程的视频位置：6.3、递推和动态规划的关系
https://www.fanrenyi.com/video/27/275
1、题目描述
问题描述：
满足F1=F2=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)的数列称为斐波那契数列（Fibonacci），
它的前若干项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55...，求此数列第n项 mod 10^9+7的值（n>=3）。
输入格式：
一行一个正整数n
输出格式：
一行一个整数表示答案。
输入输出样例：
输入5，输出5
输入10，输出55
【数据范围】
对于60%的数据，1<=n<=92；
对于100%的数据，1<=n<2^63。
题目位置：
P1962 斐波那契数列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态
https://www.luogu.com.cn/problem/P1962
2、递推解法
1 /*
2
3 递推关系式：
4 题目中已经非常明显的给出了，就是
5 F(n)=F(n-1)+F(n-2)
6
7 解决递推问题的一般步骤
8 1、建立递推关系式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
9 2、确定边界条件：
10 f(1)=f(2)=1，
11 所以我们的循环可以从3开始，到n结束，
12 也就是3-n
13
14 算法步骤：
15 1、确定初始值
16 2、循环做递推，3-n
17
18 */
19 #include <iostream>
20 using namespace std;
21 const int mod=1000000007;
22 int f[200000];
23 int main(){
24 int n;
25 cin>>n;
26 //1、确定初始值
27 f[1]=f[2]=1;
28 //2、循环做递推，3-n
29 for(int i=3;i<=n;i++){
30 //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
31 f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
32 }
33 cout<<f[n]<<endl;
34 return 0;
35 }
3、滚动数组优化
1 /*
2
3 之前的最大子段和的动态规划的优化的时候，
4 我们讲了滚动数组优化，
5 原因是 对应的状态转移方程为：
6 f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
7 里面只用到了f[i]和f[i-1]这两个元素，
8 所以可以用只有两个元素的数组来优化
9
10 我们现在的递推表达式是：
11 f[i]=f[i-1]+f[i-2] (3<=i<=n)
12 里面用到了f[i]、f[i-1]和f[i-2]三个元素，
13 所以可以用含有三个元素的数组来优化
14
15 滚动数组的代码修改也很简单
16 直接在递推表达式有i的位置%3即可
17 f[i%3]=f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3];
18 （%3是因为现在是有三个元素的滚动数组）
19
20 注意：
21 取结果的时候，n也需要模3，例如f[n%3]
22
23 */
24
25 #include <iostream>
26 using namespace std;
27 const int mod=1000000007;
28 int f[3];
29 int main(){
30 int n;
31 cin>>n;
32 //1、确定初始值
33 f[1]=f[2]=1;
34 //2、循环做递推，3-n
35 for(int i=3;i<=n;i++){
36 //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
37 f[i%3]=(f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3])%mod;
38 }
39 //注意n也需要模3
40 cout<<f[n%3]<<endl;
41 return 0;
42 }
4、递推和动态规划的关系
/* 上述代码也就是这个题目动态规划的写法 动态规划里面有状态，状态转移方程 递推里面初始值，递推表达式 其实动态规划里面的状态转移方程，就是递推表达式 动态规划里面的初始状态，就是递推里面的初始值 所以动态规划可以看做是一种特殊的递推， 动态规划可以看做保存中间状态（中间结果）的递推 对于这题： 状态可以设置为：f[i]为 斐波那契数列第n项 mod 10^9+7的值 那么状态转移方程就是递推表达式：F(n)=F(n-1)+F(n-2) 初始状态：f[1]=f[2]=1 */