P1073 最优贸易
题目描述
C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个
城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分
为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。
C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价
格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息
之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城
市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的
过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方
式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另
一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定
这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路
为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。
阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3
号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。
阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格
买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。
现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号
以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，
表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市
y 之间的双向道路。
输出格式：
输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，
则输出 0。
输入输出样例
5 5 4 3 5 6 1 1 2 1 1 4 1 2 3 2 3 5 1 4 5 2
5
说明
【数据范围】
输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。
对于 10%的数据，1≤n≤6。
对于 30%的数据，1≤n≤100。
对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。
对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市
水晶球价格≤100。
NOIP 2009 提高组 第三题
二、分析
第一步：正向spfa，找到每个从起点到i号城市能买到的物品的最低价c[i]
第二步：反向BFS，找到能卖东西的城市
第三步：用每个城市的卖出价减从起点到这个城市买东西的最低价就是获利，遍历所有城市，取最大获利
显然这道题目你只要找到任何路径上的最大值，最小值就好了；
那么对于点k
我们要知道1~k里面的最小值卖入；
还要知道k~里面的最大值卖出；
那么我们可以用spfa去求；
第一遍跑出min数组后去反向图跑max数组；
这样就好了；
这道题目用缩点进行dp也可以；
首先能够买进卖出的地点一定与起点和终点连通
我们可以从起点正向SPFA找出在可以走到的范围内能够买进的最小代价，然后从终点反向BFS找出哪些点能够走到终点，最后的答案是：
max(本地代价[i]-买进最小代价[i])（i能够走到终点）
1 /* 2 第一步：正向spfa，找到每个从起点到i号城市能买到的物品的最低价c[i] 3 第二步：反向BFS，找到能卖东西的城市 4 第三步：用每个城市的卖出价减从起点到这个城市买东西的最低价就是获利，遍历所有城市，取最大获利 5 */ 6 #include<bits/stdc++.h> 7 using namespace std; 8 const int oo=1e9; 9 int q[1000001]={0},c[100001]; 10 bool vis[100001]={0},visf[100001]={0}; 11 int n,m,a[100001]; 12 int nedge=0,p[1000001],nex[1000001],head[100001]; 13 int nedgef=0,pf[1000001],nexf[1000001],headf[100001]; 14 15 //添加边 用于正向SPFA 16 //nex数组和head数组时用数组模拟链表 17 //next[i]表示i下一个点的编号，head[i]表示i节点的所有能够到达的点 18 //p[i]=b表示第i条边的终点是b点 19 inline void addedge(int a,int b){ 20 p[++nedge]=b;nex[nedge]=head[a]; 21 head[a]=nedge; 22 } 23 24 //添加边 用于反向BFS 25 //nexf数组和headf数组时用数组模拟链表 26 //nexf[i]表示i下一个点的编号，headf[i]表示i节点的所有能够到达的点 27 //pf[i]=b表示第i条边的终点是b点 28 inline void addedgef(int a,int b){ 29 pf[++nedgef]=b;nexf[nedgef]=headf[a]; 30 headf[a]=nedgef; 31 } 32 //第一步：正向spfa，找到每个从起点到i号城市能买到的物品的最低价c[i] 33 void spfa(){ 34 for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=oo; 35 //1号点被置为初始点，被置为访问过，并将它入队 36 vis[1]=1;q[1]=1; 37 //队列的头尾指针都是1 38 int l=1,r=1; 39 //如果尾小于等于头，也就是队列非空 40 while(l<=r){ 41 //把队头元素的值给now，并且对头指针加1 42 int now=q[l++]; 43 //遍历所有与now节点相连的元素 ，k表示now节点现在指的边 44 for(int k=head[now];k;k=nex[k]){ 45 //在 c[p[k]]和 c[now]和 a[now]取最小值给 c[p[k]]（a[now]表示now号城市的商品价格） 46 //c数组是用来取商品价格最小值的 ，并且尾部的价格最低 47 int t=min(c[p[k]],min(c[now],a[now])); 48 if(c[p[k]]>t){ 49 c[p[k]]=t; 50 //p[k]表示k点到达的终点，如果k的终点没有被访问 51 if(!vis[p[k]]){ 52 //把它入队，并且置为访问过 53 q[++r]=p[k]; 54 vis[p[k]]=1; 55 } 56 } 57 } 58 //把now节点的访问标志置为0，方便now节点再次入队 59 vis[now]=0; 60 } 61 } 62 //第二步：反向BFS，找到能卖东西的城市 63 void bfs(){ 64 //将q队列清0 65 memset(q,0,sizeof q); 66 //将队列头尾指针都指向1，并且将n号城市入队 67 int l=1,r=1;q[1]=n; 68 //如果队列非空 69 while(l<=r){ 70 //now取队头元素，队头指针++ 71 int now=q[l++]; 72 //k表示所有与now相连的边，pf[k]表示k对应边的终点 73 //如果边可以访问 74 for(int k=headf[now];k;k=nexf[k])if(!visf[pf[k]]){ 75 //把边的终点入队 76 q[++r]=pf[k]; 77 //将这个终点置为可以访问的 78 visf[pf[k]]=1; 79 } 80 } 81 } 82 //第三步：用每个城市的卖出价减从起点到这个城市买东西的最低价就是获利，遍历所有城市，取最大获利 83 int main() 84 { 85 scanf("%d%d",&n,&m); 86 //a[i]表示城市i的商品价格 87 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); 88 for(int i=1;i<=m;i++){ 89 //如果单向，就添加一条边，如果双向，就添加两条边 90 int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 91 addedge(x,y);addedgef(y,x); 92 if(z==2)addedge(y,x),addedgef(x,y); 93 } 94 spfa();bfs(); 95 int ans=0; 96 //遍历所有点，c[i]是从起点到i号城市买东西的最低价格，a[i]是i号城市物品的价格 97 for(int i=1;i<=n;i++)if(visf[i])ans=max(ans,a[i]-c[i]); 98 printf("%d",ans); 99 return 0; 100 }