单调队列

单调队列

单调队列和单调栈两者功能相同，只是维护的时候不同。

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时，将队首元素删除。

 

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

。。。。依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

 

#include<iostream>
#include<queue>

using namespace std;

struct Node
{
    int val;
    int index;
};

//数组序列 
void GetMax(int *numSequence,int len, int *result,int k)
{
    Node *que = new Node[len];
    //头尾指针 
    int head = 0;
    int end = 0;

    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        Node tmp;
        //填节点 
        tmp.val = numSequence[i];
        tmp.index = i;
        
        //要插入的数大的情况 
        while(end!=0 && que[end].val<=numSequence[i])
            --end;
        //要插入的数小于队尾元素 
        ++end;
        que[end] = tmp;
        
        //找ans  
        while(end!=0 && que[head].index<i-k+1)
            ++head;
        result[i] = que[head].val;
    }    
    delete []que;
}

int main()
{
    int len, k;
    cin>>len>>k;

    int *numSequence = new int[len];
    int *maxResult = new int[len];

    for(int i=0;i<len;i++)
        cin>>numSequence[i];

    GetMax(numSequence,len,maxResult,k);

    for(int i=k-1;i<len;i++)
        cout<<i<<": "<<maxResult[i]<<endl;

    delete[]numSequence;
    delete[]maxResult;
    numSequence = NULL;
    maxResult = NULL;

    return 0;
}

根据实例来敲代码，变量之间的关系很好 掌握

 输入数据：

10 3
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 3
8 7 12 5 16 9 17 2 4 6

#include<iostream>
#include<queue>

using namespace std;

struct Node
{
    int val;
    int index;
};

//数组序列 
void GetMax(int *numSequence,int len, int *result,int k)
{
    Node *que = new Node[len];
    //头尾指针 
    int head = 0;
    int end = 0;

    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        Node tmp;
        //填节点 
        tmp.val = numSequence[i];
        tmp.index = i;
        
        //要插入的数大的情况 
        while(end!=0 && que[end].val<=numSequence[i])
            --end;
        //要插入的数小于队尾元素 
        ++end;
        que[end] = tmp;
        cout<<"end: "<<end<<" que[end].index: "<<que[end].index<<" que[end].val: "<<que[end].val<<endl; 
        //找ans  
        //如果里面还有元素 end!=0
        //并且 
        if(i<k)  result[i]=que[head+1].val;
        else{
            int index=que[head+1].index;
            int indexNow=que[end].index;
            //队头的元素如果和当前元素的距离只差大于3了 
            while(indexNow-index>=3) head++,index=que[head+1].index;;
        }
        result[i]=que[head+1].val;
        
    }    
    delete []que;
}



//直接根据实例来写代码，这样下标不容易弄混
//取得实例 10 3 {10，9,8.。。1}
//取得实例 10 3 {10，1,2,3,9,8，。。。} 
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    //freopen("in2.txt","r",stdin); 
    int len, k;
    cin>>len>>k;
    
    //数组 
    int *numSequence = new int[len];
    //窗的终点 位置 
    int *maxResult = new int[len];

    for(int i=0;i<len;i++)
        cin>>numSequence[i];
        
    cout<<numSequence[0]<<endl;

    GetMax(numSequence,len,maxResult,k);

    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<i<<": "<<maxResult[i]<<endl;

    delete[]numSequence;
    delete[]maxResult;
    numSequence = NULL;
    maxResult = NULL;

    return 0;
}

 写完代码反复检查然后再提交，这样会省掉超级多的检查时间。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
    int index;
    int val;
};
int n,k;
void getMax(int *a,int *ans,int n,int k){
    node *q=new node[100];
    int h=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        node tmp;tmp.val=a[i];tmp.index=i;
        while(h<r&&q[r-1].val<=tmp.val) r--;
        q[r++]=tmp;
        if(i<=k) ans[i]=q[h].val;
        else while(q[r-1].index-q[h].index>=k) h++;
        ans[i]=q[h].val;    
    }
    delete[] q;
}


int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int *a=new int[100];
    int *ans=new int[100];
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    getMax(a,ans,n,k);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";cout<<endl;    
    delete[] a;
    delete[] ans;
    a=NULL;
    ans=NULL;
    return 0;
} 

 数组传引用

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
    int index;
    int val;
};
int n,k;
void getMax(int (&a)[100],int (&ans)[100],int n,int k){
    node q[100];
    int h=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        node tmp;tmp.val=a[i];tmp.index=i;
        while(h<r&&q[r-1].val<=tmp.val) r--;
        q[r++]=tmp;
        if(i<=k) ans[i]=q[h].val;
        else while(q[r-1].index-q[h].index>=k) h++;
        ans[i]=q[h].val;    
    }
}


int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int a[100],ans[100]; 
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    getMax(a,ans,n,k);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";cout<<endl;    
    return 0;
}