用途
我想把一个本来是线性的东西放到树上做，维护路径或者是子树的各种性质，那就用树剖呗
它可以套线段树、树状数组、ST表（以及其他我不知道的）
做法
我们考虑把树分成一条条链，然后对每条链维护我们的数据结构（线段树等）。对于两点间路径的询问，只要把路径拆成好几条链统计答案就可以了
然后为了保证链数是$O(logn)$的，我们需要把每个点和他的重儿子连成一条链，所谓重儿子，就是节点数最多的儿子
所以做两遍dfs，第一遍求出节点的重儿子、父节点和深度（用于统计答案），第二遍按照重儿子优先的顺序去做dfs序，这样可以保证每条重链连续、而且每个子树连续
我们以这个dfs序为下标，建一棵线段树（或者别的什么）
再记每个链的最靠上的节点是谁，然后查询的时候一直拿着个往上跳就行了
所以每次操作$O(log^2n)$
例题
luogu4114 Qtree1（修改边权、查询路径最大边权）
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<vector> 5 #include<queue> 6 #include<cmath> 7 #include<ctime> 8 #define LL long long int 9 #define inf 0x3f3f3f3f 10 using namespace std; 11 const int maxn=100010; 12 13 LL rd(){ 14 LL x=0;char c=getchar();int neg=1; 15 while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();} 16 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar(); 17 return x*neg; 18 } 19 20 struct Edge{ 21 int a,b,l,ne; 22 }eg[maxn*2]; 23 int N; 24 int egh[maxn],ect; 25 int wson[maxn],fa[maxn],dep[maxn]; 26 int val[maxn],num[maxn],root[maxn],top[maxn],het[maxn]; 27 int ch[maxn*3][2],v[maxn*4],pct; 28 29 inline void adeg(int a,int b,int l){ 30 eg[ect].a=a;eg[ect].b=b;eg[ect].l=l;eg[ect].ne=egh[a];egh[a]=ect++; 31 } 32 33 int dfs1(int x,int f){ 34 int ma=-inf,mi=0,re=1;fa[x]=f;dep[x]=dep[f]+1; 35 for(int i=egh[x];i!=-1;i=eg[i].ne){ 36 int b=eg[i].b;if(b==f) continue; 37 int c=dfs1(b,x);re+=c; 38 val[b]=max(val[b],eg[i].l); 39 if(c>ma) ma=c,mi=b; 40 }wson[x]=mi;return re; 41 } 42 43 inline void update(int p){v[p]=max(v[ch[p][0]],v[ch[p][1]]);} 44 45 void build(int &p,int l,int r){ 46 p=++pct;if(l==r) v[p]=val[num[l]]; 47 else{ 48 int m=l+r>>1; 49 build(ch[p][0],l,m);build(ch[p][1],m+1,r); 50 update(p); 51 } 52 } 53 void change(int p,int l,int r,int x,int y){ 54 if(l==r) v[p]=y; 55 else{ 56 int m=l+r>>1; 57 if(x<=m) change(ch[p][0],l,m,x,y); 58 else change(ch[p][1],m+1,r,x,y); 59 update(p); 60 } 61 } 62 int query(int p,int l,int r,int x,int y){ 63 if(x<=l&&r<=y) return v[p]; 64 else{ 65 int m=l+r>>1,re=-inf; 66 if(x<=m) re=max(re,query(ch[p][0],l,m,x,y)); 67 if(y>=m+1) re=max(re,query(ch[p][1],m+1,r,x,y)); 68 return re; 69 } 70 } 71 72 void dfs2(int x,int f){ 73 if(wson[f]!=x){int i,j; 74 for(i=1,j=x;j;j=wson[j],i++) num[i]=j,top[j]=x; 75 het[x]=i-1;build(root[x],1,het[x]); 76 }for(int i=egh[x];i!=-1;i=eg[i].ne){ 77 int b=eg[i].b;if(b==f) continue; 78 dfs2(b,x); 79 } 80 } 81 82 void solveC(int a,int b){ 83 int x=eg[a*2-1].a,y=eg[a*2-1].b; 84 if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 85 change(root[top[x]],1,het[top[x]],dep[x]-dep[top[x]]+1,b); 86 } 87 88 int solveQ(int x,int y){ 89 int re=-inf;if(x==y) return 0; 90 while(top[x]!=top[y]){ 91 if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); 92 re=max(re,query(root[top[x]],1,het[top[x]],1,dep[x]-dep[top[x]]+1)); 93 x=fa[top[x]]; 94 }if(x==y) return re; 95 if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y); 96 return max(re,query(root[top[x]],1,het[top[x]],dep[x]-dep[top[x]]+2,dep[y]-dep[top[x]]+1)); 97 } 98 99 int main(){ 100 //freopen("4114.in","r",stdin); 101 int i,j,k; 102 char s[20]; 103 N=rd();memset(egh,-1,sizeof(egh)); 104 for(i=1;i<N;i++){ 105 int a=rd(),b=rd(),c=rd(); 106 adeg(a,b,c);adeg(b,a,c); 107 }dfs1(1,0);dfs2(1,0); 108 while(1){ 109 scanf("%s",s);if(s[0]=='D') break; 110 i=rd(),j=rd(); 111 if(s[0]=='C') solveC(i,j); 112 else printf("%d ",solveQ(i,j)); 113 } 114 return 0; 115 }
suoi23 ZHX知识树 (改路径/子树点权 查路径/子树点权和/最大值)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define pa pair<int,int> 3 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 const int maxs=2e7,maxn=1e6+5,QS=233333333,QM=114514810; 7 8 inline char gc(){ 9 static char buf[maxs],*p1=buf,*p2=buf; 10 return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,maxs,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 11 } 12 13 inline ll rd(){ 14 ll x=0;char c=gc();int neg=1; 15 while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=gc();} 16 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=gc(); 17 return x*neg; 18 } 19 20 int eg[maxn*2][2],egh[maxn],ect; 21 int N,M,root,fa[maxn]; 22 int dep[maxn],wson[maxn],dfn[maxn][2],top[maxn],siz[maxn]; 23 int ch[maxn*4][2],tot,id[maxn]; 24 int pct; 25 ll sum[maxn*4],ma[maxn*4],laz[maxn*4]; 26 int v[maxn]; 27 28 inline void adeg(int a,int b){ 29 eg[++ect][0]=b;eg[ect][1]=egh[a];egh[a]=ect; 30 } 31 32 inline void update(int p){ 33 if(!ch[p][0]) return; 34 sum[p]=sum[ch[p][0]]+sum[ch[p][1]]; 35 ma[p]=max(ma[ch[p][0]],ma[ch[p][1]]); 36 } 37 38 void build(int &p,int l,int r){ 39 if(!p) p=++pct; 40 if(l==r) sum[p]=ma[p]=v[id[l]]; 41 else{ 42 int m=l+r>>1; 43 build(ch[p][0],l,m);build(ch[p][1],m+1,r); 44 update(p); 45 } 46 } 47 48 inline void pushdown(int p,int l,int r){ 49 if(!laz[p]) return; 50 if(l<r){ 51 int a=ch[p][0],b=ch[p][1]; 52 int m=l+r>>1; 53 laz[a]+=laz[p]; 54 sum[a]+=(m-l+1)*laz[p]; 55 ma[a]+=laz[p]; 56 57 laz[b]+=laz[p]; 58 sum[b]+=(r-m)*laz[p]; 59 ma[b]+=laz[p]; 60 }laz[p]=0; 61 } 62 63 void add(int p,int l,int r,int x,int y,int z){ 64 if(x<=l&&r<=y){ 65 laz[p]+=z; 66 sum[p]+=(r-l+1)*z; 67 ma[p]+=z; 68 }else{ 69 pushdown(p,l,r); 70 int m=l+r>>1; 71 if(x<=m) add(ch[p][0],l,m,x,y,z); 72 if(y>=m+1) add(ch[p][1],m+1,r,x,y,z); 73 update(p); 74 } 75 } 76 77 ll querys(int p,int l,int r,int x,int y){ 78 pushdown(p,l,r); 79 if(x<=l&&r<=y){ 80 return sum[p]; 81 }else{ 82 int m=l+r>>1;ll re=0; 83 if(x<=m) re=querys(ch[p][0],l,m,x,y); 84 if(y>=m+1) re+=querys(ch[p][1],m+1,r,x,y); 85 return re; 86 } 87 } 88 89 void querym(int p,int l,int r,int x,int y,ll &re){ 90 pushdown(p,l,r); 91 if(x<=l&&r<=y){ 92 re=max(re,ma[p]); 93 }else{ 94 int m=l+r>>1; 95 if(x<=m&&ma[ch[p][0]]>re) querym(ch[p][0],l,m,x,y,re); 96 if(y>=m+1&&ma[ch[p][1]]>re) querym(ch[p][1],m+1,r,x,y,re); 97 } 98 } 99 100 void dfs1(int x){ 101 siz[x]=1; 102 int m=0; 103 for(int i=egh[x];i;i=eg[i][1]){ 104 int b=eg[i][0];if(b==fa[x]) continue; 105 dep[b]=dep[x]+1; 106 fa[b]=x; 107 dfs1(b); 108 siz[x]+=siz[b]; 109 if(siz[b]>m) m=siz[b],wson[x]=b; 110 } 111 } 112 113 void dfs2(int x){ 114 if(x==wson[fa[x]]) top[x]=top[fa[x]]; 115 else top[x]=x; 116 dfn[x][0]=++tot;id[tot]=x; 117 if(wson[x]) dfs2(wson[x]); 118 for(int i=egh[x];i;i=eg[i][1]){ 119 int b=eg[i][0];if(b==fa[x]||b==wson[x]) continue; 120 dfs2(b); 121 } 122 dfn[x][1]=tot; 123 } 124 125 ll solve(int x,int y,int op){ 126 ll re=(op==QM?-1e11:0); 127 while(top[x]!=top[y]){ 128 if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); 129 if(op==QS){ 130 re+=querys(root,1,N,dfn[top[x]][0],dfn[x][0]); 131 }else if(op==QM){ 132 querym(root,1,N,dfn[top[x]][0],dfn[x][0],re); 133 }else{ 134 add(root,1,N,dfn[top[x]][0],dfn[x][0],op); 135 } 136 x=fa[top[x]]; 137 }if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 138 if(op==QS){ 139 re+=querys(root,1,N,dfn[y][0],dfn[x][0]); 140 }else if(op==QM){ 141 querym(root,1,N,dfn[y][0],dfn[x][0],re); 142 }else{ 143 add(root,1,N,dfn[y][0],dfn[x][0],op); 144 } 145 return re; 146 } 147 148 int main(){ 149 int i; 150 N=rd(),M=rd(); 151 for(i=1;i<=N;i++) v[i]=rd(); 152 for(i=1;i<N;i++){ 153 int a=rd(),b=rd(); 154 adeg(a,b);adeg(b,a); 155 } 156 dfs1(1);dfs2(1); 157 build(root,1,N); 158 for(i=1;i<=M;i++){ 159 int op=rd(),x=rd(); 160 if(op==1){ 161 int y=rd(),v=rd(); 162 solve(x,y,v); 163 }else if(op==2){ 164 int v=rd(); 165 add(root,1,N,dfn[x][0],dfn[x][1],v); 166 }else if(op==3){ 167 printf("%lld ",querys(root,1,N,dfn[x][0],dfn[x][0])); 168 }else if(op==4){ 169 int y=rd(); 170 printf("%lld ",solve(x,y,QS)); 171 }else if(op==5){ 172 printf("%lld ",querys(root,1,N,dfn[x][0],dfn[x][1])); 173 }else if(op==6){ 174 int y=rd(); 175 printf("%lld ",solve(x,y,QM)); 176 }else if(op==7){ 177 ll re=-1e12; 178 querym(root,1,N,dfn[x][0],dfn[x][1],re); 179 printf("%lld ",re); 180 } 181 } 182 return 0; 183 }