关于x86下VB、C#、VC中的整数运算需要注意的地方
请大家看这段代码：
using System;
namespace IntegerArithmetic
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
Int32 a = (-1) / 8; //0
Int32 b = (-1) % 8; //-1
Int32 c = 1 << 32; //1
UInt32 d = 1U << 32; //1
Int32 e = (-1) / (-8); //0
Int32 f = (-1) % (-8); //-1
Int32 g = (-1) << 32; //-1
Int32 h; //-1
Int32 i = Math.DivRem(-1, 8, out h); //0
Console.WriteLine(String.Format("a = {0}", a));
Console.WriteLine(String.Format("b = {0}", b));
Console.WriteLine(String.Format("c = {0}", c));
Console.WriteLine(String.Format("d = {0}", d));
Console.WriteLine(String.Format("e = {0}", e));
Console.WriteLine(String.Format("f = {0}", f));
Console.WriteLine(String.Format("g = {0}", g));
Console.WriteLine(String.Format("h = {0}", h));
Console.WriteLine(String.Format("i = {0}", i));
}
}
}
这些结果中不少是反常识的。
1.整数除法和模运算
在x86下的VB、C#、VC中，整数除法和模运算的定义为
x DIV y = TruncToZero(x / y) x MOD y = x - (x DIV y) * y
其中
MOD表示模运算(VB中为Mod, C#和C++中为%)；
DIV表示整数除法(VB中为\，C#和C++中为/)；
TruncToZero(r)是指取一个符号与r相同，且绝对值不大于|r|的绝对值最大的整数；
TruncToZero(r) = sign(r) * max{|x|: |x| <= |r|}
/表示实数除法。
这种定义导致的问题是(负数 MOD 正数)的结果为负数。
例如[1]：
bool is_odd(int n) {
return n % 2 == 1;
}
这个函数在传入任意负数n时会返回false。
这几种语言在x86下的表现，可能是编译器考虑到运行效率直接使用x86机器指令IDIV实现的缘故。
有两种修正的定义，请参阅[1]：
floored division：模得的值的符号与模数一致
x DIV y = floor(x / y) x MOD y = x - (x DIV y) * y
Euclidean definition: 模得的值始终为正
x DIV y = if y > 0
floor(x / y)
else
ceil(x / y)
x MOD y = x - (x DIV y) * y
我们可以在C#中实现采用floored division方式修正的代码。
/// <summary>modulo from Knuth's floored division</summary>
public static Int32 Mod(this Int32 a, Int32 m) {
Int32 s = Math.Sign(m);
Int32 pm = Math.Abs(m);
return s * (((s * a) % pm) + pm) % pm;
}
/// <summary>Knuth's floored division</summary>
public static Int32 Div(this Int32 a, Int32 b)
{
return (a - a.Mod(b)) / b;
}
不过这个方法可能会出现整数溢出。特别是C#默认没有开启整数溢出异常，可能导致计算出错。
下面是没有整数溢出的版本。不过正确是有代价的，逻辑很复杂。
public static Int32 Mod(this Int32 a, Int32 m)
{
Int32 r = a % m;
if (((r < 0) && (m > 0)) || ((r > 0) && (m < 0))) { r += m; }
return r;
}
public static Int32 Div(this Int32 a, Int32 b)
{
if (b == 0) { throw new DivideByZeroException(); }
Int32 r = a.Mod(b);
if ((a > 0) && (r < 0))
{
if (a - Int32.MaxValue > r) { return (a - Math.Abs(b) - r) / b + Math.Sign(b); }
}
else if ((a < 0) && (r > 0))
{
if (a - Int32.MinValue < r) { return (a + Math.Abs(b) - r) / b - Math.Sign(b); }
}
return (a - r) / b;
}
2.移位运算
在x86下的VB、C#、VC中，移位运算的定义为
Int32 x, Int32 y x << y = x SAL (y MOD 32) x >> y = x SAR (y MOD 32) UInt32 x, Int32 y x << y = x SHL (y MOD 32) x >> y = x SHR (y MOD 32)
其中SAR是最高位补原最高位的算术右移，SHR是最高位补0的逻辑右移，SAL、SHL是左移。
y MOD 32 = y AND 0x1F
这应该是x86指令集所决定的。
不过需要注意到VC编译器对常数和变量的处理不一致。
在y为常数且超过0..31的范围时，会出现“shift count negative or too big, undefined behavior”的警告。
当x也为常数时，常量会按常识正确计算。
修正：
public static UInt32 SHL(this UInt32 a, Int32 n)
{
if (n >= 32) { return 0; }
if (n < 0) { return a.SHR(-n); }
return a << n;
}
public static UInt32 SHR(this UInt32 a, Int32 n)
{
if (n >= 32) { return 0; }
if (n < 0) { return a.SHL(-n); }
return a >> n;
}
public static Int32 SAL(this Int32 a, Int32 n)
{
if (n >= 32) { return 0; }
if (n < 0) { return a.SAR(-n); }
return a << n;
}
public static Int32 SAR(this Int32 a, Int32 n)
{
if (n >= 32)
{
if (Convert.ToBoolean(a & Int32.MinValue))
{
return -1;
}
else
{
return 0;
}
}
if (n < 0) { return a.SAL(-n); }
return a >> n;
}
3.修正的使用时机
前述的两个修正是完备的。但是不能很好的融入语法，且性能损失是可以预测到的。
因此，下面给出使用的时机判断方法。
1)整数除法和模运算修正的使用时机是：
被除数x和除数y中有一个可能为负数的时候。
通常除数是正数，而被除数有时候是负数。
但是，有时被除数看起来可能会出现负数，却可以较容易的修正为正数表达式，如：
求
(n - 1) MOD m
其中n为非负整数，m为正整数。
这里n = 0时不修正会出现问题。
但是我们可以写成
(n + m -1) MOD m
这个就不会出现问题。
2)移位运算修正的使用时机
在移位的位数y为变量时使用。
例如我们需要获得一个掩码。
Int32 Mask = 1 << n - 1
这里n为Int32变量。
则我们必须使用
Int32 Mask = 1.SAL(n) - 1
否则，在n = 32时会出现问题。
4.结论
x86下的整数运算远比人们所想象的复杂。
稍不注意，就会导致出现无法察觉的bug。
参考：
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation