[学习笔记]中国剩余定理

中国剩余定理

以前公式用的是图片导致排版丑陋，今天复习顺便重写了

描述

有同余方程组：

[left{ egin{matrix} x equiv a_1 (mod m_1) \ x equiv a_2 (mod m_2) \ ... \ x equiv a_k (mod m_k) end{matrix} ight. \ 其中m_i两两互质 ]

令(M = prod_{i = 1}^{k} m_i)，则方程组的一个解为(x = sum_{i = 1}^{k} a_i cdot frac{M}{m_i} cdot (frac{M}{m_i})^{-1})，其中((frac{M}{m_i})^{-1})表示(frac{M}{m_i})模(m_i)意义下的逆元

如果求最小非负整数解，再模(M)即可

证明

对于每一个(x equiv a_i (mod m_i))，记解为(x_i)，则有(x_i + m_i cdot y = a_i)，两边除以(a_i)，得：

[frac{x_i}{a_i} + frac{m_i cdot y}{a_i} = 1 ag{1} ]

由(m_i)两两互质得(frac{M}{m_i})与(m_i)互质，所以存在(p, q in Z^+)，使得：

[p cdot frac{M}{m_i} + q cdot m_i = 1 ag{2} ]

即：

[p cdot frac{M}{m_i} equiv 1 (mod m_i) \ p equiv (frac{M}{m_i})^{-1} (mod m_i) ag{3} ]

由((1)(2)(3))易得(x_i = a_i cdot p cdot frac{M}{m_i} = a_i cdot frac{M}{m_i} cdot (frac{M}{m_i})^{-1})是方程的一个解

对于(j eq i)，有(m_j | frac{M}{m_i})，所以(x_i equiv 0 (mod m_j))，所以(sum_{i = 1}^{k} a_i cdot frac{M}{m_i} cdot (frac{M}{m_i}) ^ {-1} equiv a_j (mod m_j))

故方程组的一个解是(x = sum_{i = 1}^{k} a_i cdot frac{M}{m_i} cdot (frac{M}{m_i}) ^ {-1})，显然(x \% M)是最小非负整数解

一个应用

有的时候题目要求答案模一个大合数，可以把合数拆成(prod p_{i}^{k_i})的形式，化成由(ans equiv a_i (mod p_{i}^{k_i}))组成的方程组然后求解

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL a[1005], m[1005], M = 1, ans;
int n;

void ExGCD(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
	if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
	else
	{
		ExGCD(b, a % b, d, y, x);
		y -= a / b * x;
	}
}
LL Inverse(LL a, LL p)
{
	LL x, y, d;
	ExGCD(a, p, d, x, y);
	x = (x % p + p) % p;
	return x;
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++)
		scanf("%lld", a + i);
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%lld", m + i);
		M *= m[i];
	}
	for(int i = 0; i < n; i++)
		ans = (ans + M / m[i] * Inverse(M / m[i], m[i]) % M * a[i] % M) % M;
	ans = (ans + M) % M;
	printf("%lld
", ans);

	return 0;
}//Rhein_E