差分约束基本讲解

如果一个系统由 n 个变量和 m 个约束条件组成，每个约束条件形如 \(x_j-x_i<=b_k\)，其中 \(i,j\in[1,n],k\in[1,m]\)，则称其为差分约束系统（System of Difference Constraints）。亦即，差分约束系统是求解关于特殊的 \(N\) 元一次不等式组的方法。

我们先来看一个简单的数学问题，如下给定 4 个变量和 5 个不等式约束条件，求 \(x_3-x_0\) 的最大值。

\[\begin{align} x_1-x_0<=2 \tag{1} \\ x_2-x_0<=7 \tag{2} \\ x_3-x_0<=8 \tag{3} \\ x_2-x_1<=3 \tag{4} \\ x_3-x_2<=2 \tag{5} \end{align} \]

我们可以通过不等式的两两加得到三个结果，

\[\begin{align} x_3-x_0<=8 \tag{式3} \\ x_3-x_0<=9 \tag{式2+式5} \\ x_3-x_0<=7 \tag{式1+式4+式5} \end{align} \]

由以上结果很容易得知，\(x_3-x_0\) 的最大值是 7，也就是上面三式里的最小值。

这个例子很简单，只有 4 个变量和 5 个不等式约束条件，那如果有上百变量上千约束条件呢？仅凭肉眼手工计算效率太差，因此我们需要一个较为系统的解决办法。

我们先来看一幅图，如下，给定四个小岛以及小岛之间的有向距离，问从 0 号岛到 3 号岛的最短距离。箭头指向的线代表两个小岛之间的有向边，蓝色数字代表距离权值。

这个问题就是经典的最短路问题。由于这个图比较简单，我们可以枚举所有的路线，发现总共三条路线，如下：

1. 0 -> 3，长度为 8

2. 0 -> 2 -> 3，长度为 7 + 2 = 9

3. 0 -> 1 -> 2 -> 3，长度为 2 + 3 + 2 = 7

最短路为三条线路中的长度的最小值，即 7，所以最短路的长度就是 7。细心的读者会发现，这幅图和最上方的五个不等式约束条件是有所关联的，但这个关联并不是巧合，而正是我们接下来要讲的那个 "系统的解决办法"。

差分约束与最短路

差分约束系统中的每个约束条件 \(x_i-x_j<=c_k\) 都可以变形成 \(x_i<=x_j+c_k\)，这与单源最短路中的三角形不等式 \(dist[y]<=dist[x]+z\) 非常相似。

因此，我们可以把每个变量 \(x_i\) 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 \(x_i-x_j<=c_k\)，看成是从结点 \(j\) 向结点 \(i\) 的一条权值为 \(c_k\) 的有向边，于是我们就可以把一个差分约束系统转化成图的最短路问题。

然而在实际问题中情况往往会复杂得多，例如，把条件约束里的所有等号去掉，

\[\begin{align} x_1-x_0<2 \notag{} \\ x_2-x_0<7 \notag{} \\ x_3-x_0<8 \tag{去掉等号后} \\ x_2-x_1<3 \notag{} \\ x_3-x_2<2 \notag{} \end{align} \]

这个时候我们就需要将上面的小于号转换成小于等于号。

当 \(x_i\) 被限定只能是整数时，这个转换就会非常简单，

\[(x_i-x_j<c_k) ↔ (x_i-x_j<=c_k-1) \notag{} \]

总结

差分约束问题下，

1. 如果要求最大值，则想办法把每个不等式变为标准 \(x_i-x_j<=c_k\) 的形式，然后建立一条从 \(j\) 到 \(i\) 权值为 \(c_k\) 的边，最后求最短路径即可。
2. 如果要求最小值，则想办法把每个不等式变为标准 \(x_i-x_j>=c_k\) 的形式，然后建立一条从 \(j\) 到 \(i\) 权值为 \(c_k\) 的边，最后求最长路径即可。

基本题

CodeVS 4416 - FFF 团卧底的后宫

给出 n 个形如 $x_i - x_j <= d $ 或 $x_i - x_j >= d $ 的不等式，求一组使 $x_1 $ 与 \(x_n\) 差最大的解，输出最大差值，若无解输出 -1，若 \(x_1\)与 \(x_n\) 的差为无限大则输出 -2。

#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>

const int MAXN = 1000;
const int MAXM = 10000;

struct Edge;
struct Node;

struct Node {
    Edge *edges;
    bool inQueue;
    int dist;
    int count;
} nodes[MAXN];

struct Edge {
    Node *from, *to;
    int w;
    Edge *next;

    Edge(Node *from, Node *to, int w) : from(from), to(to), w(w), next(from->edges) {}
};

int n, m, k;

inline void addEdge(int from, int to, int w) {
    nodes[from].edges = new Edge(&nodes[from], &nodes[to], w);
}

inline bool bellmanFord() {
    std::queue<Node *> q;

    q.push(&nodes[0]);
    while (!q.empty()) {
        Node *node = q.front();
        q.pop();
        node->inQueue = false;

        for (Edge *edge = node->edges; edge; edge = edge->next) {
            if (edge->to->dist > node->dist + edge->w) {
                edge->to->dist = node->dist + edge->w;

                if (!edge->to->inQueue) {
                    edge->to->inQueue = true;
                    edge->to->count++;
                    q.push(edge->to);

                    if (edge->to->count > n) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes[i].dist = INT_MAX;
    }

    nodes[0].dist = 0;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, d;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &d);
        a--, b--;

        addEdge(a, b, d);
        // $b - $a <= d
        // $a + d >= $b
    }

    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a, b, d;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &d);
        a--, b--;
        addEdge(b, a, -d);
        // b - a >= d
        // a - b <= -d
        // b + -d >= a
    }

    if (!bellmanFord()) {
        puts("-1");
    } else {
        if (nodes[n - 1].dist == INT_MAX) {
            puts("-2");
        } else {
            printf("%d\n", nodes[n - 1].dist);
        }
    }

    return 0;
}

参考

• 差分约束系统，维基百科
• 差分约束，博客园
• 差分约束系统学习 , 个人博客