进出栈序列问题详解

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1005/B

题目描述

一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入描述:

一个数，n(n≤60000)n (n leq 60000)n(n≤60000)

输出描述:

一个数s表示n节车厢出栈的可能排列方式

示例1

输入

3

输出

5

示例2

输入

50

输出

1978261657756160653623774456

思路：

方案一：暴力枚举

对于栈问题，简单来想只有进栈和出栈的操作

所以直观的来看，直接暴力枚举每个节点情况

(egin{cases}1.把下一个数进栈\2.把当前栈顶元素出栈（如果栈非空）end{cases})

利用递归快速实现，时间复杂度 ：(O(2^N))

在这个时间复杂度下很容易TLE

方案二：递推优化 (O(N^2))

因为本题只是要求求出有多少种出栈序列并不关心具体方案，于是我们可以使用递推直接进行统计。设(S_N) 表示进栈顺序为 (1，2，3，4...,N) 时可能的出栈序列总数。

现在假设序列中位置 (K) 的地方有一个数 (a ，a)前面有(K−1)个数要出栈，a后面有(N−K)个数要出栈，而出栈的方案总数分别是 $S_{K−1} $ 和 (S_{N−K}) 于是这个大问题就转化成了小问题，我们就要求更小的 (S_i)，于是有递推公式（很好理解）：

方案三：动态规划 (O(N^2))

动态规划。这里我们要有状态与决策的思想（这个真的很重要，有时与搜索也异曲同工）。我们设 (F[i,j]) 是还有 $i (个元素未入栈，)j$ 个元素在栈中的方案总数，初始状态是(F[0,0]=1)，目标状态是(F[N,0]F)，每一次我们的决策有“让一个数进栈”，“让栈顶的数出栈”，所以方程有：

[F[i,j]=F[i−1,j+1]+F[i,j−1] ]

方案四：数学 (O(N))、

该问题等价于求第 (N) 项 (Ctalan)数，即 (C^{N}_{2N} / (N + 1))