中国剩余定理

「物不知数」问题

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即求满足以下条件的整数：除以 (3) 余 (2) ，除以 (5) 余 (3) ，除以 (7) 余 (2) 。

该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。

(2 imes 70+3 imes 21+2 imes 15=233=2 imes 105+23) ，故答案为 (23) 。

算法简介及过程

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 (n_1, n_2, cdots, n_k) 两两互质）：

[left { egin{array}{ccc} x &equiv& a_1 pmod {n_1} \ x &equiv& a_2 pmod {n_2} \ &vdots& \ x &equiv& a_k pmod {n_k} \ end{array} ight. ]

上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。

算法流程

1. 计算所有模数的积 (n) ；
2. 对于第 (i) 个方程：
   1. 计算 (m_i=frac{n}{n_i}) ；
   2. 计算 (m_i) 在模 (n_i) 意义下的 逆元 (m_i^{-1}) ；
   3. 计算 (c_i=m_im_i^{-1}) （ 不要对 (n_i) 取模 ）。
3. 方程组的唯一解为： (a=sum_{i=1}^k a_ic_i pmod n) 。

伪代码

1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
	n * n[i] → n
for i = 1 to k
	n / n[i] → m
	inv(m, n[i]) → b               // b * m mod n[i] = 1
	(ans + a[i] * m * b) mod n → ans
return ans

算法的证明

我们需要证明上面算法计算所得的 (a) 对于任意 (i=1,2,cdots,k) 满足 (aequiv a_i pmod {n_i}) 。

当 (i eq j) 时，有 (m_jequiv 0 pmod {n_i}) ，故 (c_jequiv m_jequiv 0 pmod {n_i}) 。又有 (c_iequiv m_i(m_i^{-1}mod {n_i})equiv 1 pmod {n_i}) ，所以我们有：

[egin{aligned} a&equiv sum_{j=1}^k a_jc_j &pmod {n_i} \ &equiv a_ic_i &pmod {n_i} \ &equiv a_im_i(m^{-1}_i mod n_i) &pmod {n_i} \ &equiv a_i &pmod {n_i} end{aligned} ]

即对于任意 (i=1,2,cdots,k) ，上面算法得到的 (a) 总是满足 (aequiv a_i pmod{n_i}) ，即证明了解同余方程组的算法的正确性。

因为我们没有对输入的 (a_i) 作特殊限制，所以任何一组输入 ({a_i}) 都对应一个解 (a) 。

另外，若 (x eq y) ，则总存在 (i) 使得 (x) 和 (y) 在模 (n_i) 下不同余。

故系数列表 ({a_i}) 与解 (a) 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。

例

下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。

1. (n=3 imes 5 imes 7=105) ；
2. 三人同行 七十 希： (n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}equiv 2pmod 3) ，故 (c_1=35 imes 2=70) ；
3. 五树梅花 廿一 支： (n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}equiv 1pmod 5) ，故 (c_2=21 imes 1=21) ；
4. 七子团圆正 半月 ： (n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}equiv 1pmod 7) ，故 (c_3=15 imes 1=15) ；
5. 所以方程组的唯一解为 (aequiv 2 imes 70+3 imes 21+2 imes 15equiv 233equiv 23 pmod {105}) 。（除 百零五 便得知）

应用

某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数： 不是质数 ！

但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。

那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。

推荐练习：BZOJ 1951

比较两 CRT 下整数

考虑 CRT, 不妨假设 (n_1leq n_2 leq ... leq n_k)

[left{ egin{array} { r l } { x } & { equiv a _ { 1 } left( mod n _ { 1 } ight) } \ { x } & { equiv a _ { 2 } left( mod n _ { 2 } ight) } \ { } & { vdots } \ { x } & { equiv a _ { k } left( mod n _ { k } ight) } end{array} ight. ]

与 PMR(Primorial Mixed Radix) 表示

(x=b_1+b_2n_1+b_3n_1n_2...+b_kn_1n_2...n_{k-1} ,b_iin [0,n_i))

将数字转化到 PMR 下，逐位比较即可

转化方法考虑依次对 PMR 取模

[egin{aligned} b_1&=a_1 mod n_1\ b_2&=(a_2-b_1)c_{1,2} mod n_2\ b_3&=((a_3-b_1')c_{1,3}-x_2')c_{2,3} mod n_3\ &...\ b_k&=(...((a_k-b_1)c_{1,k}-b_2)c_{2,k})-...)c_{k-1,k} mod n_k end{aligned} ]

其中 (c_{i,j}) 表示 (n_i) 对 (n_j) 的逆元， (c_{i,j}n_i equiv 1 pmod {n_j})

扩展：模数不互质的情况

两个方程

设两个方程分别是 (xequiv a_1 pmod {m_1}) 、 (xequiv a_2 pmod {m_2}) ；

将它们转化为不定方程： (x=m_1p+a_1=m_2q+a_2) ，其中 (p, q) 是整数，则有 (m_1p-m_2q=a_2-a_1) 。

由裴蜀定理，当 (a_2-a_1) 不能被 (gcd(m_1,m_2)) 整除时，无解；

其他情况下，可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 ((p, q)) ；

则原来的两方程组成的模方程组的解为 (xequiv bpmod M) ，其中 (b=m_1p+a_1) ， (M= ext{lcm}(m_1, m_2)) 。

多个方程

用上面的方法两两合并就可以了……

推荐练习：POJ 2891

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