什么是向量积以及其几何意义

什么是向量积？

向量积，也称（向量）叉积，（向量）叉乘，外积，是一种在向量空间中对向量进行的二元运算。常见于物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，是一种很重要的概念。

设向量 (overrightarrow{c}) 由两个向量 (overrightarrow{a}) 和 (overrightarrow{b}) 按如下公式定出：(overrightarrow{c}) 的模 (|overrightarrow{c}|=|overrightarrow{a}||overrightarrow{b}|sinθ)，其中 (θ) 为 (overrightarrow{a}) 和 (overrightarrow{b}) 间的夹角；(overrightarrow{c}) 的方向垂直于 (overrightarrow{a}) 和 (overrightarrow{b}) 所决定的平面，指向按右手规则从 (overrightarrow{a}) 转向 (overrightarrow{b}) 来确定，如下图：

那么，向量 (overrightarrow{c}) 叫做向量 (overrightarrow{a}) 与 (overrightarrow{b}) 的向量积，记作 (overrightarrow{a}×overrightarrow{b})。

由上述的定义，我们很容易总结出两条性质：

[egin{align} overrightarrow{a}×overrightarrow{b}&=overrightarrow{0} ag{其中 $overrightarrow{a}$ 平行$overrightarrow{b}$}\ overrightarrow{a}×overrightarrow{b}&=- overrightarrow{b}×overrightarrow{a} ag{不满足交换律} end{align} ]

下面来推导向量积的坐标表达式，以二维向量为例。设 (overrightarrow{a}=(a_x, a_y)，overrightarrow{b}=(b_x, b_y))，得：

仔细观察上式，得出：

1. (a_xb_y-a_yb_x>0)，则 (overrightarrow{b}) 在 (overrightarrow{a}) 的逆时针方向上（参照 (overrightarrow{i}) 和 (overrightarrow{j}) 的位置）；
2. (a_xb_y-a_yb_x<0)，则 (overrightarrow{b}) 在 (overrightarrow{a}) 的顺时针方向上；
3. (a_xb_y-a_yb_x=0)，则 (overrightarrow{a}) 和 (overrightarrow{b}) 共线，但是否同向不确定。