卢卡斯定理是一个与组合数有关的数论定理，在算法竞赛中用于求组合数对某质数的模。
第一部分是博主的个人理解，第二部分为 Pecco 学长的介绍
第一部分
一般情况下，我们计算大组合数取模问题是用递推公式进行计算的：
其中p相对较小的素数。但是当n和m过大时，计算的耗费就急剧增加(O(mn))，在实践中不适用。当这时候就需要Lucas定理进行快速运算:
其中：
证明方法也很简单，主要用到如下等式：
应用这个公式，可以的到如下递归式
这里的(Lucas(n,m,p))就是(C_n^m mod p)，递归终点就是当(n=0)的时候。时间复杂度是(O(log_p(n)*p)).
如果上面的解释没有理解的话请往下看一下 Pecco 学长的介绍
第二部分
开篇说的就很清楚了，
卢卡斯定理是一个与组合数有关的数论定理，在算法竞赛中用于求组合数对某质数的模。
在我们谈论卢卡斯定理前，我们先来看看朴素的求组合数的方法有哪些。
如果直接根据定义 (C_m^n = frac{m!}{n!(m-n)!}) 直接计算，显然很容易溢出，事实上当 m=21 时，(21! = 51,090,942,171,709,440,000) 就已经大于64位整数可以表示的范围了。当然我们可以边乘边除，但有点麻烦。于是我们有另外一种思路，利用递推式：(C_m^n =C_{m-1}^{n - 1} + C_{m - 1}^n) （这个递推式可以从杨辉三角看出）。这种方法相对不容易溢出，时间复杂度为 (mathcal{O}(n^2)) 其实如果对精度要求不高的话，最简单快捷的方法是利用对数。由于 ：
所以只需要用 (mathcal{O}(n)) 预处理出 (ln x) 的前缀和，即可 (mathcal{O}(1)) 求出结果，但可能有浮点误差。
然而，实际上，组合数的增长速度是非常快的，(C_{100}^{50}) 已经是30位数，(C_{300}^{150}) 则有89位数，比宇宙中的原子数还多。（宇宙中的原子数：怎么总是拿我来对比？）所谓递推不容易溢出，那如果结果本身就溢出了，你又怎么办呢？
所幸算法竞赛中的题目常常会要求将结果对某个质数 (p) 取模，这样一来，溢出的问题就不用太担心了。我们干脆直接回到最原始的方法：(C_m^n=frac{m!}{n!(m-n)!})。只不过，现在我们要把除法变成求 逆元，也即：(C_m^n = m!·inv(n!)·inv[(m - n)!] (mod p))。
模 (p) 意义下阶乘和逆元都可以 (mathcal{O}(n))预 处理出来，然后直接 (mathcal{O}(1)) 查询即可（实际上不预处理逆元直接 (mathcal{O}(log n)) 求也绰绰有余）。这基本上是最常用的求组合数方法。
绕了一圈，怎么还没提到卢卡斯定理呢？嗯……一般来说，这个方法够用了。偏偏，有时候， (p) 可能比 (m) 小....
这下麻烦了。如果 (p) 比 (m) 小，就不能保证 (n) 和 (m - n) 的逆元存在了（它们可能是 (p) 的倍数）。当然还是可以用杨辉三角递推，但 (mathcal{O}(n^2))还是太不理 想。于是，本文的主角——卢卡斯定理终于要出场了。
卢卡斯定理（Lucas's theorem）：
对于非负整数 (m,n) 和质数 (p) ，(C_m^n = prod_{i = 0}^k (mod p)) 其中
(m = m_kp^k + …… +m_1p + m_0) 、(n = n_kp^k + …… +n_1p + n_0) 是 (m) 和 (n) 的 (p) 进制展开
但其实，我们一般使用的是这个可以与之互推的式子：
(C_m^n = C_{m mod p}^{n mod p}·C_{lfloorfrac{m}{p} floor}^{lfloorfrac{n}{p} floor} (mod p))
当 (m < n) 时，规定 (C_m^n = 0) （待会儿会将这个规定的意义）。
就像辗转相除法那样，可以利用这个式子递归求解，递归出口是 (n = 0) 。其实这篇文章只需要这个好记的公式就够了，你甚至可以马上写出卢卡斯定理的板子：
// 需要先预处理出fact[]，即阶乘
inline ll C(ll m, ll n, ll p) {
return m < n ? 0 : fact[m] * inv(fact[n], p) % p * inv(fact[m - n], p) % p;
}
inline ll lucas(ll m, ll n, ll p) {
return n == 0 ? 1 % p : lucas(m / p, n / p, p) * C(m % p, n % p, p) % p;
}
网上说卢卡斯定理的复杂度是 (mathcal{O}(p log_p m)) ，但如果阶乘和逆元都采取递推的方法预处理，（只需要预处理 (p) 以内的），每次调用C()函数应该都是 的(mathcal{O}(1))，一共要调用 (log_p m) 次，那么复杂度应该是 (mathcal{O}(p + log_p m)) 才对。洛谷上这道模板题的范围才给到 (mathcal{O}(10^5)) ，屈才了。
接下来我们来证明这个式子。如果你对数学推导没有兴趣可以走了（雾
