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  • ZOJ 3537 Cake (凸包 + 区间DP && 最优三角形剖分)

    题目链接:Here

    题意:

    给定 (n)​​ 个点的坐标,先问这些点能否组成一个凸包,如是凸包,问用不相交的线来切这个凸包使得凸包只由三角形组成,根据 (cost_{i, j} = |x_i + x_j| * |y_i + y_j| \% p)​​​​算切线的费用,问最少的切割费用。

    解题思路:参考于 ZeroClock,感谢!

    经典的最优三角剖分模型加一点计算几何的知识。

    先判断是否为凸包,这个排个序就好弄,搬了一下凸包函数排序的板子。

    返回凸包中的顶点数量再与 (n) 比较。

    这一步处理完之后就是用 (n-3) 条直线将凸包切成 (n-2) 个三角形。

    我们要切的是以 (1)(n) 为起始点的凸包,由于切线不能相交,那么选择 (1) 点和 (n) 点必有另外一点 (S) 要和它们组成一个三角形,然后凸包被分成三个部分: (k_0,k_1,k_2) ,然后把 (k_1) 看成一个以 (n)(S) 点位起始点的凸包,是不是又可以用相同的方法处理这个凸包呢?答案是肯定,就是这样慢慢地将凸包分成一个个子凸包计算费用,最后再更新到点 (1) 和点 (n) 为起始点的凸包。

    模拟上面的过程,设 (Dp[i][j])​​ 为以 (i)​ 为起点,(j)​ 为终点的凸包被切割成一个个小三角形所需要的费用。

    那么 ​

    [dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k][j]+cost[i][k]+cost[k][j]),(j >= i+ 3,i+1<=k<=j-1,cost[i][k] ]

    为连一条 (i)(k) 的线的费用),因为 (dp[i][j]) 只表示为以 (i) 为起点,(j) 为终点的凸包内部被切割的费用,所以在连线的时候可以加上边界费用而不算重复计算。

    const int N = 1e3 + 10, inf = 1e9;
    struct Point {
        int x, y;
    } p[N];
    int cost[N][N], n, m;
    int f[N][N];
    
    int abs(int x) {return x < 0 ? -x : x;}
    int xmul(Point p1, Point p2, Point p0) {
        return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
    }
    bool cmp(const Point &a, const Point &b) {
        if (a.y == b.y)return a.x < b.x;
        return a.y < b.y;
    }
    
    Point save[400], temp[400];
    int Graham(Point *p, int n) {
        sort(p, p + n, cmp);
        save[0] = p[0];
        save[1] = p[1];
        int top = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            while (top && xmul(save[top], p[i], save[top - 1]) >= 0) top --;
            save[++top] = p[i];
        }
        int mid = top;
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            while (top > mid && xmul(save[top], p[i], save[top - 1]) >= 0) top --;
            save[++top] = p[i];
        }
        return top;
    }
    int Count(Point a, Point b) {
        return (abs(a.x + b.x) * abs(a.y + b.y)) % m;
    }
    int main() {
        cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
        while (cin >> n >> m) {
            for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> p[i].x >> p[i].y;
            int tot = Graham(p, n); // 求凸包
            if (tot < n) {cout << "I can't cut.
    "; continue;}
    
            memset(cost, 0, sizeof(cost));
            // for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < N; ++j)cost[i][j] = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i)
                for (int j = i + 2; j < n; ++j) cost[j][i] = cost[i][j] = Count(save[i], save[j]);
    
    
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                for (int j = 0; j < n; ++j) f[i][j] = inf;
                f[i][(i + 1) % n] = 0;
            }
            for (int i = n - 3; i >= 0; --i) // 注意三个for循环顺序
                for (int j = i + 2; j < n; ++j) //因为要保证在算dp[i][j]时dp[i][k]和dp[k][j]时已经计算,所以i为逆序,j要升序
                    for (int k = i + 1; k <= j - 1; ++k)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + cost[i][k] + cost[k][j]);
    
            cout << f[0][n - 1] << "
    ";
        }
    }
    

    The desire of his soul is the prophecy of his fate
    你灵魂的欲望,是你命运的先知。

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