AtCoder ABC 165 D

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题意：

给出正整数 (A,B,N (1le Ale 1e6,1le B,Nle1e12)) ，对于 (xin [0,N]) 求出

• (leftlfloorfrac{A x}{B} ight floor-A imesleftlfloorfrac{x}{B} ight floor)

的最大值

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[QAQ ]

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全搜索的话 (mathcal{O}(n)) 的时间复杂度是肯定不行的，直接看过去公式应该能够化简，

如果不是 (floor) (向下取整) ，而是实数运算的话， (frac{Ax}B - frac{Ax}B = 0) 就恒成立了

大概如上思考的话，总觉得为了使 (x) 这个值更大，原公式后面部分的 (leftlfloorfrac{x}{B} ight floor)​ 应该尽可能的靠近向上取整得到的整数，即尽可能得到 ((.999999))​ 这样的答案，此时差值就变大起来了

实际模拟一下

样例一：(A=5,B=7,N=4)

(x)	(leftlfloorfrac{A x}{B} ight floor)	(A imesleftlfloorfrac{x}{B} ight floor)	差值
0	0	0	0
1	0	0	0
2	1	0	1
3	2	0	2
4	2	0	2
5	3	0	3
6	4	0	4
7	5	5	0
8	5	5	0
9	6	5	1
10	7	5	2
11	7	5	2
12	8	5	3
13	9	5	4

而且要注意的是：

• (A imesleftlfloorfrac{x}{B} ight floor) 是周期的增加，(B(=7),A(=5))

同理：(leftlfloorfrac{A x}{B} ight floor) 也是一样的

(f(x) = leftlfloorfrac{A x}{B} ight floor-A imesleftlfloorfrac{x}{B} ight floor)​ 的取值对于 (B) 来说是周期性的，所以 (x) 的取值

• (x=0,1,2,...,B-1)

考虑这么多即可

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在 (x = 0,1,2,...,B-1) 的范围中

• (leftlfloorfrac{A x}{B} ight floor) 单调递增
• (A imesleftlfloorfrac{x}{B} ight floor) 保持不变
• 那么 (f(x)) 单调性也就是同 (leftlfloorfrac{A x}{B} ight floor) 一样单调递增了

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换句话说，只要满足

• (x=0,1,...,B-1)
• (xle N)

的话符合条件的最大 (x)​ 应该是 (x=min(N,B-1))​

那么最后答案输出 $ frac AB imes min(N,B-1)$​​​ 即可

时间复杂度由全搜索的 (mathcal{O}(n) o mathcal{O}(1))​

ll a, b, n;
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    cin >> a >> b >> n;
    cout << a * min(n, b - 1) / b;
}