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  • HDU 4549 (费马小定理+矩阵快速幂+二分快速幂)

    Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 32768KB   64bit IO Format: %I64d & %I64u

     Status

    Description

    M斐波那契数列F[n]是一种整数数列,它的定义如下: 

    F[0] = a 
    F[1] = b 
    F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

    现在给出a, b, n,你能求出F[n]的值吗?
     

    Input

    输入包含多组测试数据; 
    每组数据占一行,包含3个整数a, b, n( 0 <= a, b, n <= 10^9 )
     

    Output

    对每组测试数据请输出一个整数F[n],由于F[n]可能很大,你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可,每组数据输出一行。
     

    Sample Input

    0 1 0 6 10 2
     

    Sample Output

    0 60
     

    Source

    2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛(2)
    题意如题。
    题解:解题过程中会发现a和b的指数是斐波那契数列,b的指数是f[n],a的指数是f[n-1]。
       构造{Fn+1,Fn,Fn,Fn-1}的矩阵,当n=1的时候是{1,1,1,0},单位矩阵为{1,0,0,1}。
       利用矩阵快速幂可以求出a和b的指数,在这个过程中还要用到费马小定理。
       费马小定理:x的y次幂对M取模,如果M为素数且x和M互素,可以将y对(M-1)取模后再将结果对M取模。
       即如果p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)。
       然后求a的an次幂和b的bn次幂的乘积并取余,分别利用二分快速幂即可。
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    #define mod  1000000006
    #define mod2 1000000007
    typedef long long ll;
    struct matrix
    {
        ll data[2][2];
    };
    matrix I= {1,0,0,1};
    matrix multi(matrix a,matrix b)
    {
        matrix c;
        memset(c.data,0,sizeof(c.data));
        for(int i=0; i<2; i++)
            for(int j=0; j<2; j++)
                for(int k=0; k<2; k++)
                {
                    c.data[i][j]+=(a.data[i][k]%mod)*(b.data[k][j]%mod);
                    c.data[i][j]%=mod;
                }
        return c;
    }
    matrix pow(matrix a,ll b)
    {
        matrix ans=I;
        while(b)
        {
            if(b&1)
            {
                ans=multi(ans,a);
                b--;
            }
            b>>=1;
            a=multi(a,a);
        }
        return ans;
    }
    ll pow2(ll a,ll b)
    {
        ll ans=1;
        while(b)
        {
            if(b&1)
            {
                ans*=a;
                ans%=mod2;
                b--;
            }
            b>>=1;
            a*=a;
            a%=mod2;
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        ll aa,bb,an,bn,n;
        while(scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&n)!=EOF)
        {
            matrix a= {1,1,1,0};
            matrix ans;
            ans=pow(a,n);
            bn=ans.data[0][1];
            an=ans.data[1][1];
            //cout<<"a: "<<an<<"  b: "<<bn<<endl;
            ll ans2=((pow2(aa,an)%mod2)*(pow2(bb,bn)%mod2))%mod2;
            printf("%lld
    ",ans2);
        }
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Ritchie/p/5568047.html
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