POJ 1753 Flip game ( 高斯消元枚举自由变量)

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题意：给定一个4*4的矩阵，有两种颜色，每次反转一个颜色会反转他自身以及上下左右的颜色，问把他们全变成一种颜色的最少步数。

题解：4*4的矩阵打表可知一共有四个自由变元，枚举变元求最小解即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <ctime>
using namespace std;
const int maxn=300;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[maxn][maxn]; //增广矩阵
int x[maxn]; //解集
int free_x[maxn];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数
//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int gauss()
{
    int max_r,col,k;
    free_num=0;
    for(k=0,col=0; k<equ&&col<var; k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(int i=k+1; i<equ; i++)
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        if(!a[max_r][col])
        {
            k--;
            free_x[free_num++]=col;
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
            for(int j=col; j<var+1; j++)
                swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        for(int i=k+1; i<equ; i++)
        {
            if(a[i][col])
            {
                for(int j=col; j<var+1; j++)
                    a[i][j]^=a[k][j];
            }
        }
    }
    for(int i=k; i<equ; i++)
        if(a[i][col])
            return -1;
    if(k<var) return var-k;
    for(int i=var-1; i>=0; i--)
    {
        x[i]=a[i][var];
        for(int j=i+1; j<var; j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
int n;
void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
    equ=n*n;
    var=n*n;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            int t=i*n+j;
            a[t][t]=1;
            if(i>0) a[(i-1)*n+j][t]=1;
            if(i<n-1) a[(i+1)*n+j][t]=1;
            if(j>0) a[i*n+j-1][t]=1;
            if(j<n-1) a[i*n+j+1][t]=1;
        }
}
int solve()
{
    int t=gauss();
    if(t==-1)
    {
        return -1;
    }
    else if(t==0)
    {
        int ans=0;
        for(int i=0; i<n*n; i++)
            ans+=x[i];
        return ans;
    }
    else
    {
        //枚举自由变元
        int ans=0x3f3f3f3f;
        int tot=(1<<t);
        for(int i=0; i<tot; i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=0; j<t; j++)
            {
                if(i&(1<<j)) //注意不是&&
                {
                    x[free_x[j]]=1;
                    cnt++;
                }
                else x[free_x[j]]=0;
            }
            for(int j=var-t-1; j>=0; j--)
            {
                int idx;
                for(idx=j; idx<var; idx++)
                    if(a[j][idx])
                        break;
                x[idx]=a[j][var];
                for(int l=idx+1; l<var; l++)
                    if(a[j][l])
                        x[idx]^=x[l];
                cnt+=x[idx];
            }
            ans=min(ans,cnt);
        }
        return ans;
    }
}
char str[30][30];
int main()
{
    n=4;
    for(int i=0;i<4;i++)
    scanf("%s",str[i]);
    init();
    for(int i = 0; i < 4; i++)
        for(int j = 0; j < 4; j++)
        {
            if(str[i][j] == 'b')a[i*4+j][16] = 0;
            else a[i*4+j][16] = 1;
        }
    int ans1 = solve();
    init();
    for(int i = 0; i < 4; i++)
        for(int j = 0; j < 4; j++)
        {
            if(str[i][j] == 'b')a[i*4+j][16] = 1;
            else a[i*4+j][16] = 0;
        }
    int ans2 = solve();
    if(ans1 == -1 && ans2 == -1)
        printf("Impossible
");
    else printf("%d
",min(ans1,ans2));
    return 0;
}