线性基

bzoj3105 新Nim游戏

题目大意：给定n堆火柴，第一二次取的时候可以取走任意堆，然后和普通的游戏一样，问怎样取能先手必胜，最小化第一次取的火柴数。

思路：第一次取走后，剩下的火柴中不存在一个子集异或和为0（用线性基判断这件事），贪心能取就取，总和减去剩下的就可以了。实现的时候我们是用别的数来异或当前为上为1的那个最大数，而不是反之。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxnode 105
#define LL long long
using namespace std;
int a[maxnode]={0},ci[maxnode]={0},ins[50]={0};
int main()
{
    int k,i,j,p;LL sum=0,ans=0;
    scanf("%d",&k);
    for (i=1;i<=k;++i) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+k+1);
    for (i=1;i<=k;++i) sum+=(ci[i]=a[i]);
    for (i=k;i>=1;--i)
    {
        for (j=29;j>=0;--j)
            if (a[i]&(1<<j))
            {
                if (!ins[j])
                {
                    ins[j]=i;break;
                }
                else a[i]^=a[ins[j]];
            }
        if (a[i]) ans+=ci[i];
    }
    printf("%I64d
",sum-ans);
}

bzoj2460 元素

题目大意：给定n中矿石的编号和价值，求取出的矿石中不存在一个子集的编号异或和为0的最大价值。

思路：同上一题，贪心，不过这里是取异或和不为0的，还有一点：左移右移是int，这里的long long范围，所以要写成右移的形式。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxnode 1005
#define LL long long
#define up 62
using namespace std;
struct use{
    int val;LL id;
}ai[maxnode]={0};
int ins[maxnode]={0};
int cmp(const use&x,const use &y){return x.val>y.val;}
int main()
{
    int n,i,j,t,ans=0;scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%I64d%d",&ai[i].id,&ai[i].val);
    sort(ai+1,ai+n+1,cmp);
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        for (j=up;j>=0;--j)
            if ((ai[i].id>>j)&1)
            {
                if (!ins[j]){ins[j]=i;break;}
                else ai[i].id^=ai[ins[j]].id;
            }
        if (ai[i].id) ans+=ai[i].val;
    }
    printf("%d
",ans);
}

bzoj2115 Xor（！！！）

题目大意：给定一张无向图，求从1～n的一条权值异或和最大的路径。

思路：每一种路径都可以看作是直接的路径和一些环的组合，所以我们可以找出所有的环（并不一定是所有的，但是要找出足够组合出所有环的小环，所以可以dfs，如果v访问过就是环，同时这个环的异或和就是disu^disv^vauv）。找到所有环和它们的权值后，要用线性基的方式，贪心算出答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxm 50005
#define maxe 200005
#define LL long long
using namespace std;
int point[maxm]={0},next[maxe]={0},en[maxe]={0},tot=0;
LL dis[maxm]={0},va[maxe]={0},hu[maxe]={0},ins[maxe]={0};
bool visit[maxm]={false};
void add(int u,int v,LL vv){
    next[++tot]=point[u];point[u]=tot;en[tot]=v;va[tot]=vv;
    next[++tot]=point[v];point[v]=tot;en[tot]=u;va[tot]=vv;
}
void dfs(int u){
    int i,j,v;visit[u]=true;
    for (i=point[u];i;i=next[i]){
        if (visit[v=en[i]]) hu[++hu[0]]=dis[u]^dis[v]^va[i];
        else{dis[v]=dis[u]^va[i];dfs(v);}
    }
}
void pre(){
    int i,j,x;
    for (i=1;i<=hu[0];++i){
        for (j=60;j>=0;--j)
            if ((hu[i]>>j)&1){
                if (!ins[j]){ins[j]=i;break;}
                else hu[i]^=hu[ins[j]];
            }
    }
}
int main(){
    int n,m,i,j,u,v;LL vv,ans;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%I64d",&u,&v,&vv);add(u,v,vv);
    }dfs(1);pre();ans=dis[n];
    for (i=60;i>=0;--i)
        if (!((ans>>i)&1)&&ins[i]) ans^=hu[ins[i]];
    printf("%I64d
",ans);
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxm 50005
#define maxe 200005
#define LL long long
using namespace std;
int point[maxm]={0},next[maxe]={0},en[maxe]={0},tot=0;
LL dis[maxm]={0},va[maxe]={0},hu[maxe]={0};
bool visit[maxm]={false};
void add(int u,int v,LL vv){
    next[++tot]=point[u];point[u]=tot;en[tot]=v;va[tot]=vv;
    next[++tot]=point[v];point[v]=tot;en[tot]=u;va[tot]=vv;
}
void dfs(int u){
    int i,j,v;visit[u]=true;
    for (i=point[u];i;i=next[i]){
        if (visit[v=en[i]]) hu[++hu[0]]=dis[u]^dis[v]^va[i];
        else{dis[v]=dis[u]^va[i];dfs(v);}
    }
}
void pre(){
    int i,j,x,st=1;
    for (i=60;i>=0;--i){
        for (x=0,j=st;j<=hu[0];++j)
            if ((hu[j]>>i)&1){x=j;break;}
        if (x){
            for (j=1;j<=hu[0];++j)
                if (j!=x&&((hu[j]>>i)&1)) hu[j]^=hu[x];
            swap(hu[x],hu[st]);++st;
        }
    }
}
int main(){
    int n,m,i,j,u,v;LL vv,ans;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&vv);add(u,v,vv);
    }dfs(1);pre();ans=dis[n];
    for (i=hu[0];i;--i) ans=max(ans,ans^hu[i]);
    printf("%lld
",ans);
}

bzoj2728 与非（！！！）

题目大意：定义一种新操作：A nand B(真值表如下：1 1 0;0 1 1;1 0 1;0 0 1)，问给定的n个数能通过这种运算得出[L,R]中的几个数。

思路：nand操作可以代替位运算所有操作，根据位运算的性质可以得到如果一些位置的01状态在每个数中都一样，那么这些位置运算后的状态对应一样（比如0010和1101从后数的1、3位一样，所以最后运算出来的1、3位要么x1x1要么x0x0），我们通过求出这些关联位置可以得到一组线性基（作为一组线性基的数，对于某一位，它们二进制上只有一个1），求关联位置的方法是一些位运算技巧：从高到低枚举没有出现过的二进制位，枚举每一个数x，如果这一位是1，就&x，如果是0，就&~x，这样最后是1的位置就是关联位置了。考虑计算[1~x]中能算出来的数的个数，用之前的线性基，数位dp，考虑这一位是0/1（但这一部分有一种比较好写的办法，如果当前的线性基i|已经选的<=x，给答案加上2^(tot-i)，表示这一个线性基不选，其他的有这么多种方案；然后选上这个线性基，再接着做）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define N 1005
using namespace std;
LL ai[N],ji[N];int tot=0;
bool vi[N]={false};
LL calc(LL x){
    int i;LL ans=0,ci=0;
    if (x==-1LL) return x;
    for (i=1;i<=tot;++i)
      if ((ci|ji[i])<=x){
        ci|=ji[i];ans|=(1LL<<(tot-i));
      }return ans;}
int main(){
    int n,i,j,k;LL l,r,now,cc;
    scanf("%d%d%I64d%I64d",&n,&k,&l,&r);
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%I64d",&ai[i]);
    for (cc=(1LL<<k)-1,i=k-1;i>=0;--i){
        if (vi[i]) continue;
        for (now=cc,j=1;j<=n;++j){
            if ((ai[j]>>i)&1LL) now&=ai[j];
            else now&=~ai[j]&cc;
        }ji[++tot]=now;
        for (j=0;j<=i;++j)
          if (now&(1LL<<j)) vi[j]=true;
    }printf("%I64d
",calc(r)-calc(l-1));
}

bzoj4004 装备购买

题目大意：给定n个装备，每个装备有m个属性值（看做一个m维向量），选一些装备，如果一个装备能被已选的某些装备线性表出就不能选。问选最多装备的最小代价。

思路：可以贪心，所以就可以对m位用线性基做。（eps不能选的太小！！！）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 505
#define LD double
#define eps 1e-5
using namespace std;
struct use{
    LD m[N];int c;
    bool operator<(const use&x)const{return c<x.c;}
}ai[N];
int vi[N]={0};
int cmp(LD x,LD y){
    if (x-y>eps) return 1;
    if (y-x>eps) return -1;
    return 0;}
int main(){
    int n,m,i,j,q,ans=0,cnt=0;LD k;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;++i)
      for (j=1;j<=m;++j) scanf("%lf",&ai[i].m[j]);
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&ai[i].c);
    sort(ai+1,ai+n+1);
    for (i=1;i<=n;++i){
        for (j=m;j;--j){
            if (cmp(ai[i].m[j],0.)==0) continue;
            if (!vi[j]){vi[j]=i;break;}
            else{
                k=ai[i].m[j]/ai[vi[j]].m[j];
                for (q=m;q;--q) ai[i].m[q]-=ai[vi[j]].m[q]*k;
            }
        }for (j=m;j;--j)
          if (cmp(ai[i].m[j],0.)!=0) break;
        if (j){++cnt;ans+=ai[i].c;}
    }printf("%d %d
",cnt,ans);
}

 
bzoj4568 幸运数字

题目大意：给一棵树，求某条路径上的某些点权的异或和最大。

思路：倍增+线性基。倍增数组维护u向上2^i步的线性基，合并的时候暴力合并（因为线性基能表示出所有数，所以可以把一个线性基中的数看作所有数插入另一个）。查询的时候合并出链的线性基，贪心算答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 20005
#define up 16
#define M 60
#define LL long long
using namespace std;
int point[N]={0},next[N<<1],en[N<<1],tot=0,fa[N][up],dep[N]={0};
struct use{
    LL nm[M];
}xj[N][up],ci[2];
LL ai[N];
int in(){
    char ch=getchar();int x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';ch=getchar();
    }return x;}
LL lin(){
    char ch=getchar();LL x=0LL;
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10LL+(LL)(ch-'0');ch=getchar();
    }return x;}
void add(int u,int v){
    next[++tot]=point[u];point[u]=tot;en[tot]=v;
    next[++tot]=point[v];point[v]=tot;en[tot]=u;}
use merge(use x,use y){
    int i,j;use a;a=x;
    for (i=M-1;i>=0;--i){
        if (!y.nm[i]) continue;
        for (j=i;j>=0;--j){
            if (!((y.nm[i]>>j)&1)) continue;
            if (!a.nm[j]){a.nm[j]=y.nm[i];break;}
            else y.nm[i]^=a.nm[j];
        }
    }return a;}
void pre(int u,int ff){
    int i,v;fa[u][0]=ff;dep[u]=dep[ff]+1;
    for (i=M-1;i>=0;--i)
        if ((ai[u]>>i)&1){xj[u][0].nm[i]=ai[u];break;}
    for (i=1;i<up;++i){
        fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
        xj[u][i]=merge(xj[u][i-1],xj[fa[u][i-1]][i-1]);
    }for (i=point[u];i;i=next[i]){
        if ((v=en[i])==ff) continue;
        pre(v,u);
    }
}
LL calc(){
    int i;LL ans=0LL;
    for (i=M-1;i>=0;--i)
        if (!((ans>>i)&1)&&ci[0].nm[i]) ans^=ci[0].nm[i];
    return ans;}
LL geta(int u,int v){
    int i;if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    memset(ci,0,sizeof(ci));
    for (i=up-1;i>=0;--i)
        if (dep[fa[u][i]]>=dep[v]){
            ci[0]=merge(ci[0],xj[u][i]);
            u=fa[u][i];
        }
    if (u==v){
        ci[0]=merge(ci[0],xj[u][0]);
        return calc();
    }for (i=up-1;i>=0;--i)
        if (fa[u][i]!=fa[v][i]){
            ci[0]=merge(ci[0],xj[u][i]);
            ci[1]=merge(ci[1],xj[v][i]);
            u=fa[u][i];v=fa[v][i];
        }
    ci[0]=merge(ci[0],xj[u][0]);
    ci[1]=merge(ci[1],xj[v][0]);
    u=fa[u][0];
    ci[0]=merge(merge(ci[0],xj[u][0]),ci[1]);
    return calc();}
int main(){
    int n,m,i,u,v;n=in();m=in();
    for (i=1;i<=n;++i) ai[i]=lin();
    for (i=1;i<n;++i){u=in();v=in();add(u,v);}
    pre(1,0);
    for (i=1;i<=m;++i){
        u=in();v=in();
        printf("%I64d
",geta(u,v));
    }
}

bzoj3569 DZY Loves Chinese II

题目大意：给定一张连通图，q个询问，每次删去k（k<=15）条边，问图是否连通。

思路：dfs出dfs树之后，如果树边和能覆盖这条树边的所有非树边同时删掉了，就是不连通。给非树边rand一个权值，树边的权值是所有覆盖它的非树边的权值的异或和，如果删掉边的权值中有一个子集异或和为0，就说明不连通（！！！）。

注意：给树边赋值的时候可以差分，一开始竟然暴力用每条非树边赋值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define N 100005
#define M 1000005
#define up 31
using namespace std;
struct use{int u,v,va,ir;}ed[M];
int point[N],next[M],tot,ai[N],xj[up],bi[N]={0};
bool vi[N]={false};
int in(){
    char ch=getchar();int x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';ch=getchar();
    }return x;}
void add(int u,int v){
    next[++tot]=point[u];point[u]=tot;ed[tot]=(use){u,v,0,0};
    next[++tot]=point[v];point[v]=tot;ed[tot]=(use){v,u,0,0};}
void dfs(int u){
    int i,v;vi[u]=true;
    for (i=point[u];i;i=next[i]){
        if (vi[v=ed[i].v]) continue;
        ed[i].ir=ed[i^1].ir=1;
        dfs(v);
    }
}
void pre(int u){
    int i,v;vi[u]=true;
    for (i=point[u];i;i=next[i]){
        if (vi[v=ed[i].v]) continue;
        pre(v);
        ed[i].va^=bi[v];
        ed[i^1].va^=bi[v];
        bi[u]^=bi[v];
    }
}
bool judge(int x){
    int i,j;
    memset(xj,0,sizeof(xj));
    for (i=1;i<=x;++i){
        for (j=up-1;j>=0;--j){
            if (!((ai[i]>>j)&1)) continue;
            if (!xj[j]){xj[j]=ai[i];break;}
            ai[i]^=xj[j];
        }if (!ai[i]) return true;
    }return false;
}
int main(){
    int n,m,q,k,i,j,cnt=0,u,v;n=in();m=in();
    for (tot=i=1;i<=m;++i){u=in();v=in();add(u,v);}
    q=in();dfs(1);
    for (i=2;i<=tot;i+=2)
        if (!ed[i].ir){
            ed[i].va=ed[i^1].va=rand();
            bi[ed[i].u]^=ed[i].va;
            bi[ed[i].v]^=ed[i].va;
        }
    memset(vi,false,sizeof(vi));
    pre(1);
    for (i=1;i<=q;++i){
        k=in();
        for (j=1;j<=k;++j){
            u=in()^cnt;
            ai[j]=ed[u<<1].va;
        }if (judge(k)) printf("Disconnected
");
        else{printf("Connected
");++cnt;}
    }
}

bzoj2844 albus就是要第一个出场

题目大意：求子集异或和不去重排序后，x这个数最早出现的下标。

思路：考虑求出每一位只有一个1的线性基共m个，有n个数，一共有2^n个异或和，2^m种异或和，每一种异或和中：对于那n-m个不作为线性基的数是可以随便取的，并且可以通过组合得到不同的异或和。所以每种异或和出现次数都是2^(n-m)（！！！）。这样就可以数位dp出<x的异或种数，*2^(n-m)+1就是答案了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define up 31
#define p 10086
using namespace std;
int in(){
    char ch=getchar();int x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';ch=getchar();
    }return x;}
int ai[N],xj[up]={0},bi[up]={0};
int mi(int x,int y){
    int a=1;
    for (;y;y>>=1){
        if (y&1) a=a*x%p;
        x=x*x%p;
    }return a;}
int main(){
    int n,i,j,q,x,ans=0;n=in();
    for (i=1;i<=n;++i){
        ai[i]=in();
        for (x=ai[i],j=up-1;j>=0;--j){
            if (!((x>>j)&1)) continue;
            if (!xj[j]){xj[j]=x;break;}
            else x^=xj[j];
        }
    }for (i=up-1;i>=0;--i)
        for (j=i-1;j>=0;--j)
            if ((xj[i]>>j)&1) xj[i]^=xj[j];
    q=in();
    for (i=j=0;i<up;++i)
        if (xj[i]) bi[i]=j++;
    for (i=up-1;i>=0;--i)
        if (((q>>i)&1)&&xj[i]){
            q^=xj[i];ans|=(1<<bi[i]);
        }
    printf("%d
",(ans%p*mi(2,n-j)+1)%p);
}