exgcd

什么是exgcd

exgcd 是用来求解不定方程、逆元等问题的工具

可以求解方程$$ax+by=gcd(a,b)$$并返回 (gcd) 值

代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
  if(b == 0){
    x = 1; y = 0; //ax = gcd(a, 0) = a
    return a;
  }
  int result = exgcd(b, a % b, x, y);
  int tp = x;
  x = y;
  y = tp - a / b * y; //见说明
  return result; //gcd
}

说明

(x,y) 的求值方法

• 设(a'=b,b'=a mod b)
• (a'x+b'y=gcd(a',b'))
• 根据一般 (gcd) 的方法可知 (gcd(a,b) = gcd(a',b'))
• ( herefore) (a'x+b'y=gcd(a,b))
• (bx+(a mod b)y=gcd(a,b))
• (ecause a mod b=a-lfloor frac{a}{b} floor imes b) (以下下取整除用 (/) 表示)
• ( herefore bx+(a- a / b imes b)y=gcd(a,b))
• ( herefore)提取(-a / b imes by) 得

• [b(a/b imes y) + ay= gcd(a,b) ]

因此对应原来x, y的就是y, x-a/b*y

功能

1. 解形如 (ax+by=c) 的不定方程

可以直接通过exgcd的本来含义转化
原: 求(ax+by=gcd(a,b))

当(c)可以被 (gcd(a, b)) 整除时，则此方程有整数解，设 ({m}={{c}over{gcd(a,b)}})，则可以得一组特解 (mp,mq) ( (p,q) 为exgcd(a,b,p,q)的值)，设 (gcd(a,b) = g)

在解 (mp,mq) 成立的情况下，解 (mp+b,mq-a) 也成立，所以可以通过取模的方法求出 (x) 或 (y) 的最小值，(x) 的最小值为 (mp)%(b over g)，(y) 的最小值为 (mq mod {a over g})

注意，在实际使用中，exgcd 并不能处理 (a,b) 是负数的情况，当 (a,b) 是负数时，一般根据题意采取等价的取相反数做法

在实际的取模中，最好加上多倍的模数，避免负数