莫比乌斯反演
对于两个定义域为非负整数的函数(F(n))和(f(n))
若满足：(F(n)=sumlimits_{d|n}f(d))，则反演得到(f(n)=sumlimits_{d|n}mu(d)F(frac n d))；
常用变式：若满足：(F(n)=sumlimits_{n|d}f(d))，则反演得到(f(n)=sumlimits_{n|d}mu(frac d n)F(d)) 。
(mu(i))函数（莫比乌斯函数）
定义：
按照定义用线性筛来求解：
循环(i)，判定(i)为素数时，令(mu(i)=-1)；
筛到(x)时((x=i*p))，若(i|p)，则(x)有(p^2)这个因子，此时令(mu(x)=0)；
否则(i mid p)，则(x)的互异素数数量加1，则令(mu(x)=-mu(i))
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
lis[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*lis[j]<=n;j++){
vis[i*lis[j]]=1;
if(i%lis[j]==0){
mu[i*lis[j]]=0;
break;
}
mu[i*lis[j]]=-mu[i];
}
}
(mu(i))函数性质：（1）它是积性函数。
（2）对于(ninmathbb{N}^*)：
求解应用
BZOJ2820 GCD
给定(n,m)，求满足(1le xle n,1le yle m) 且 (gcd(x,y))为质数的((x,y))有多少对.
我们设出两个函数，使得它们满足反演变式的关系：(F(d))表示(dmid gcd(x,y)) 的有多少对，(f(d)) 表示(gcd(x,y)=d)的有多少对，其中(1le xle n,1le yle m).
它们确实满足(F(n)=sumlimits_{n|d}f(d)) . 故(f(n)=sumlimits_{n|d}mu(frac d n)F(d)). 方便的是$$F(d)=lfloor frac n d floorlfloorfrac m d floor $$，即每个数对可以看成((d*x,d*y))，然后考虑(x)和(y)的取值各有多少种，乘起来便是(F(d)) ，因此(f(n)=sumlimits_{nmid d }mu(frac d n)lfloor frac n d floorlfloorfrac m d floor).
令(g(x)=sum_limits{pmid x}mu(frac x p)) ，那么现在的任务是求出所有的(g(x)). 考虑用线性筛的方式来求:
循环(i)， 判定(i)是质数时，令(g(i)=mu(1)=1)
筛到(x)时((x=i*P))，若(Pmid i)，则(x)有(P^2)这个因子，除非求值式中的(p)将(x)中的(P^2)除去，否则(mu(frac x p)=0)，唯一一个有值的是当(p=P)时(mu(frac x P)=mu(i)). 综合，(g(x)=mu(i))
若(P mid i)，则(P)与(i)互质。当(p=P)时，值是(mu(frac {iP}P)=mu(i))。
当(p e P)时，循环的(p)和g(i)中循环的(p)是一样的 ，则$$且sum_{p|x且p!=P}mu(frac xp)=sum_{p|i}mu(frac i pP)=sum_{p|i}mu(frac i p)mu(P)=mu(P)sum_{p|i}mu(frac ip)=-1g(i)=-g(i)$$
综合，(g(x)=mu(i)-f(i))
于是用线性筛求出了(g(x))
回到答案的表达式(ans=sumlimits_{T=1}^{min(n,m)}lfloorfrac n T floorlfloorfrac m T floorsum_{pmid T}mu(frac T p))，如果循环(1...min(n,m))显然不够快，考虑(lfloorfrac n T floorlfloorfrac m T floor)的取值是根号级别的，对于每一组(lfloorfrac n T floorlfloorfrac m T floor)相等的(lleq Tleq r)，可以加快计算，将(lfloorfrac n T floorlfloorfrac m T floor)提取出来，那么这些(T)的贡献就是(lfloorfrac n T floorlfloorfrac m T floorsumlimits_{i=l}^rg(i))，预处理出(g(i))的前缀和即可。
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=10000001;
typedef long long ll;
int T,n,m;
int mu[N],g[N];
int vis[N],lis[N],cnt;
inline void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main(){
freopen("input.in","r",stdin);
mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!vis[i]){
lis[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
g[i]=1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*lis[j]<N;j++){
int p=lis[j],x=i*p;
vis[x]=1;
if(i%lis[j]==0){
mu[x]=0;
g[x]=mu[i];
break;
}
else{
mu[x]=-mu[i];
g[x]=mu[i]-g[i];
}
}
}
for(int i=1;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
ll ans=0;
for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1LL*(n/i)*(m/i)*(g[j]-g[i-1]);
}
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}