【BZOJ3309】DZY Loves Math

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Description

　　
​　　 对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
​　　 给定正整数a,b，求(sumlimits _{i=1}^a sumlimits_{j=1}^b f(gcd(i,j)))。
　　

Input

　　
　　第一行一个数T，表示询问数。
　　接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。
　　

Output

　　
​　　 对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。
　　

Sample Input

　　
​　　 4
​　　 7558588 9653114
​　　 6514903 4451211
​　　 7425644 1189442
　　​ 6335198 4957
　　

Sample Output

　　
​　　 35793453939901
​　　 14225956593420
​　　 4332838845846
　　​ 15400094813
　　

HINT

　　
【数据规模】
　　T<=10000
​　　1<=a,b<=10^7
　　
　　
　　

Solution

　　
　　这里用(n)和(m)代表题目中的(a)和(b)。-_-

[egin{aligned} ans&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mf(gcd(i,j))\ &=sum_{x=1}^{min(n,m)}f(x)*sum(x) &sum(x)为x=gcd(i,j)的(i,j)对数，满足i和j在n和m范围内\ &=sum_{x=1}^{min(n,m)}f(x)sum_{x|d}mu(frac dx)lfloorfrac nd floorlfloorfrac md floor\ &=sum_{x=1}^{min(n,m)}f(x)sum_{k=1}^{lfloor min(n,m)/x floor}mu(k)lfloorfrac n{kx} floorlfloorfrac m{kx} floor\ &=sum_{T=1}^{min(n,m)}lfloorfrac nT floorlfloorfrac mT floorsum_{d|T}f(d)mu(frac Td)\ &=sum_{T=1}^{min(n,m)}lfloorfrac nT floorlfloorfrac mT floor g(T) &令g(x)=sumlimits_{d|x}f(d)mu(frac xd) end{aligned} ]

　　
​ 现在关键是求解(g)函数，完事后求(g)的前缀和，一样根号分段求(ans).
　　
​ （1）当(x)为质数时，(g(x)=f(1)mu(x)+f(x)mu(1)=0+1=1)
　　
　　
　　
　　​ （2）当筛到(x=p*i)时，分解质因数(x=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_k^{q_k})，(frac xd=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k})，显然(或a_i=0或1)，才能对(g(x))有贡献，不然(mu({frac xd})=0). 现在只考虑满足(或a_i=0或1)的因数(d).

[egin{aligned} g(x)&=sum_{d|x}f(d)mu(frac xd)\ &=f(x)sum_{d|x且f(d)=f(x)} mu(frac xd)+(f(x)-1)sum_{d|x且f(d) e f(x)}mu(frac xd)\ &=-sum_{d|x且f(d) e f(x)}mu(frac xd) end{aligned} ]

　　​ 要满足(f(d) e f(x))，所有(q_i=f(x))的(p_i)的指数在(d)中都要变成(q_i-1).
　　
　　1° 如果所有(q_i=f(x))，那么(a_i)全部取1，则(g(x)=-mu(p_1p_2...p_k)=-(-1)^k=(-1)^{k+1}),这里有个特殊情况，如果(i)为(p)的完全平方数，即(i=p^{a_i})，（这里的(a)是最后提到的那个(a)数组），那么(x=p^{a_i+1}),则(g(x)=-mu(p)=1)
　　
　　2° 否则若存在(q_i e f(x))，(g(x)=0).
　　
​　　 记(A={i|q_i=f(x)},B={i|q_i e f(x)}).
　　
​　　 对于(A)中的(i)，(a_i)必须取1，而(B)中的(a_i)取0或1都可以，那么

[egin{aligned} g(x)&=-summu((prod_{iin A}p_i)*(prod_{jin B}(p_j或1))\ &=-mu(prod_{iin A}p_i)summu(prod_{jin B}(p_j或1))\ &=-(-1)^{|A|}*0& prod_{iin B}(p_j或1)有奇数个质数和偶数个质数的情况次数一样，正负抵消\ &=0 &大快人心 end{aligned} ]

​　　
　　
​　　 线性筛时，维护一个(a_i)表示(i)的最小质因子(p_{min})的指数，(b_i)表示(p_{min}^{a_i}).
　　
​　　 由于每次循环的(p)都是(x)的最小质因子，故每次更新时比较(a_i)和(a_x)是否相同，如果相同就更新，如果不相同直接等于0，这样就可以保证每一个数(x)如果存在质因子指数不同的情况，(g(x))立即等于0. 详情见代码.
　　
　　
　　

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+1;
int vis[N],lis[N],cnt;
ll g[N],a[N],b[N];
inline void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void init(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			lis[++cnt]=i;
			a[i]=1; b[i]=i;
			g[i]=1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*lis[j]<N;j++){
			int x=i*lis[j],p=lis[j];
			vis[x]=1;
			if(i%p==0){
              	//d是i去除p后的数，i=d*p^ai, x=d*p^(ai+1) 故ax=ai+1,bx相应乘上p
				a[x]=a[i]+1;	
				b[x]=b[i]*p;
				int d=i/b[i];
				if(d==1) g[x]=1; //特殊情况（边界情况）i是p的幂 
				else g[x]=(a[x]==a[d])?-g[d]:0;	 //若x满足所有指数相同，g(x)=g(d)乘上-1，否则为0
				break;
			}
			a[x]=1; b[x]=p;
			g[x]=a[i]==1?-g[i]:0; //原理同上
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
}
int main(){
	freopen("input.in","r",stdin);
	init();
	int T,a,b;
	ll ans;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		if(a>b) swap(a,b);
		ans=0;
		for(int i=1,j;i<=a;i=j+1){
			j=min(a/(a/i),b/(b/i));
			ans+=1LL*(a/i)*(b/i)*(g[j]-g[i-1]);
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}