【BZOJ4804】欧拉心算

Description

　　
　　给定数字(n)（(nle 10^7))，求：

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nvarphi(gcd(i,j)) ]

​　　多组数据输入，数据组数(Tle5000)。
　　
　　
　　

Solution

　　
​　　简单的一题，直接推导：

[egin{aligned} sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nvarphi(gcd(i,j))&=sum_{d=1}^nvarphi(d)sum_{i=1}^{lfloor frac n d floor}sum_{j=1}^{lfloor frac n d floor}[gcd(i,j)==1]\ &=sum_{d=1}^nvarphi(d)(2sum_{i=1}^{lfloor frac n d floor}varphi(i)-1) end{aligned} ]

​　　发现后面一个括号带下取整，直接求出(varphi)的前缀和，数论根号分块即可。
　　
　　
　　

Code

　　

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10000001;
bool vis[N];
int p[N],pcnt;
ll phi[N];
void sieve(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++pcnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<N;j++){
            int x=i*p[j];
            vis[x]=true;
            if(i%p[j]==0){
                phi[x]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[x]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=2;i<N;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
int main(){
    sieve();
    int T,n;
    ll ans;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
            j=n/(n/i);
            ans+=(2LL*phi[n/i]-1)*(phi[j]-phi[i-1]);
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}