BZOJ3270 博物馆

题意：

给定一个无向连通图，有两个人分别在(a)，(b)点，每个点有概率留在本地不动，剩下等概率移动到一个相邻的点。问他们在每个点相遇的概率。
其中，(nleq 20)。

知识点：

期望概率DP，高斯消元

解法：

首先我想讲一下为什么我想写这一篇题解，因为网上大多数其他的题解里面描述的都有一点很关键的问题，导致很多人看题解学习的时候都被误导了（包括我）。感谢wjgg教会了我这道题正确的理解方法。

其实错在哪里了呢？是因为他们把设的未知数设成了概率。其实大家只要仔细想一想，为什么起始状态的概率会(>1)呢？没有那种概率是可以大于1的啊！想到这里相信大家都已经知道了设概率其实是不对的了。

设(f_{u,v})表示甲走到(u)号点，乙走到(v)号点的期望次数（这里的期望可以理解为有无穷种路线，其中达到这种状态的平均次数），(p_i)是留在本地的概率，(out_i)是从某点出发的概率（这个(out_i)很好算，就用不留在本地的概率除以当前点的度数就可以了）。

可以列出状态转移方程：

[f_{u,v}=p_u imes p_v imes f_{u,v}+displaystylesum_{e(i,u)} out_i imes p_v imes f_{i,v} +displaystylesum_{e(j,v)} out_j imes p_u imes f_{u,j}+displaystylesum_{e(i,u)}displaystylesum_{e(j,v)}out_i imes out_j imes f_{i,j} ]

其中必须确保上述方程中的右边满足(i ot=j,i ot=u,i ot=v,j ot=u,j ot=v,u ot=v)。因为只要到了一个(u=v)的点就碰面了，也就结束游走了。

特别地，初始所在的(a)，(b)点右边期望要(+1)，表示刚开始所在的地方必定经过一次。

然后高斯消元即可求出答案。

备注：

1. 枚举(u)和(v)的入点的时候，(id)的顺序不可以反，必须按照从(u)到(v)（或者是(i)到(j)）这样的顺序，否则表示的就不是当前那个未知数。此处高斯消元的第(i)行理解为第(i)个方程。

2. 为什么不能设概率而要设期望，是因为概率的和为(1)表示不出来，无法去重，所以列不出正确的方程。

3. 为什么最终的答案概率(=)期望，是因为这些点只会经过(1)次，所以概率(=)期望。

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=410;
const double eps=1e-8;
int n,m,A,B,d[maxn],id[21][21],head[21],tot,num;
double a[maxn][maxn],p[21],out[21];
struct node
{
	int nxt,to;
}edge[maxn*maxn];

void add(int u,int v)
{
	edge[++tot]=(node){head[u],v};
	head[u]=tot;
}

void gauss(int N)
{
	int i,j,k,l,p;
	double tt;
	for (i=1,j=1;i<=N&&j<=N;i++,j++)
	{
		p=i;
		for (k=i+1;k<=N;k++)
			if (fabs(a[k][j])>fabs(a[p][j]))
				p=k;
		if (p!=i)
		{
			for (k=j;k<=N+1;k++)
				swap(a[i][k],a[p][k]);
		}
		if (fabs(a[i][j])<eps)
		{
			i--;
			continue;
		}
		tt=a[i][j];
		for (k=j;k<=N+1;k++)
			a[i][k]/=tt;
		for (k=i+1;k<=N;k++)
		{
			tt=a[k][j];
			for (l=j;l<=N+1;l++)
				a[k][l]-=tt*a[i][l];
		}
	}
	for (i=N;i>=1;i--)
		for (j=i+1;j<=N;j++)
			a[i][N+1]-=a[i][j]*a[j][N+1];
}

int main()
{
	int i,j,k,l,u,v;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&A,&B);
	for (i=1;i<=n;i++)
		for (j=1;j<=n;j++)
			id[i][j]=++num;
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		d[u]++,d[v]++;
		add(u,v),add(v,u);
	}
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf",&p[i]);
		out[i]=(1-p[i])/d[i];
	}
	for (i=1;i<=n;i++)
		for (j=1;j<=n;j++)
		{
			a[id[i][j]][id[i][j]]=-1;
			if (i!=j)
				a[id[i][j]][id[i][j]]+=p[i]*p[j];
			for (k=head[i];k;k=edge[k].nxt)
			{
				u=edge[k].to;
				if (u!=i&&u!=j)
					a[id[i][j]][id[u][j]]+=out[u]*p[j];
			}
			for (k=head[j];k;k=edge[k].nxt)
			{
				v=edge[k].to;
				if (v!=i&&v!=j)
					a[id[i][j]][id[i][v]]+=out[v]*p[i];
			}
			for (k=head[i];k;k=edge[k].nxt)
			{
				u=edge[k].to;
				for (l=head[j];l;l=edge[l].nxt)
				{
					v=edge[l].to;
					if (u!=v)
						a[id[i][j]][id[u][v]]+=out[u]*out[v];
				}
			}
		}
	a[id[A][B]][num+1]=-1;
	gauss(num);
	for (i=1;i<=n;i++)
		printf("%0.6lf ",a[id[i][i]][num+1]);
	puts("");
	return 0;
}