【72. 编辑距离】【困难】【线性DP】

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
示例 1:

输入: word1 = "horse", word2 = "ros"
输出: 3
解释:
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
示例 2:

输入: word1 = "intention", word2 = "execution"
输出: 5
解释:
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

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【分析】：
设dp[i][j]代表a字符串前i个变形 b字符串前j个变形的最小操作步数；
此题类型和求两字符串最长公共子序列有相同部分。但最长公共序列对相同字符位置没有要求，但在此题中则是解题关键，若两位置相同，则不需任何操作；但若两相同部分之间相错n位，则需增加n次操作,同时还要考虑最优解；
同时dp[i][0]=dp[0][i]=i;
(1) 必须 S[i] == T[j], 这时前i – 1和j – 1位都已经对齐了，这部分肯定要最少扣分。这种情况下最少的扣分是dp(i-1,j-1)
(2) 和（1）类似，S[i]≠T[j]，这种情况下最少的扣分是dp(i - 1, j – 1) + 1
(3) S的前i位和T的前（j – 1）位已经对齐了，这部分扣分要最少。这种情况下最少的扣分是dp(i, j - 1) + 1
(4) S的前(i - 1)位已经和T的前j位对齐了，这部分扣分要最少。这种情况下最少的扣分是dp(i - 1, j) + 1

这样就能得到状态转移方程：

dp(i,j) = min(dp(i – 1, j – 1) + ( S[i] == T[j] ? 0:1 ), dp(i – 1,j ) + 1, dp(i, j – 1) + 1)

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class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int n = word1.length();
        int m = word2.length();
        int[][] dp = new int[n+1][m+1];
        for(int i=1; i<=n; i++) dp[i][0] = i;
        for(int j=1; j<=m; j++) dp[0][j] = j;
        for(int i=1; i<=n ;i++){
            for(int j=1; j<=m; j++){
                if(word1.charAt(i-1) != word2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1],Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])) + 1;
                }
                else dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
}